MergeSort

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(define listequal? (lambda (ls1 ls2) (cond [(and (null? ls1) (null? ls2)) #t] [(or (null? ls1) (null? ls2)) #f] [(and (list? (car ls1)) (list? (car ls1))) (and (listequal? (car ls1) (car ls2)) (listequal? (cdr ls1) (cdr ls2)))] [else (and (equal? (car ls1) (car ls2)) (listequal? (cdr ls1) (cdr ls2)))]))) (define rand 50) (define maxbreite (- 400 (* 2 rand))) (define maxhoehe (- 300 (* 2 rand))) (define minmax (lambda (ls) (letrec ([extremsuche (lambda (extrem ls op) (cond [(null? ls) extrem] [(op extrem (car ls)) (extremsuche (car ls) (cdr ls) op)] [else (extremsuche extrem (cdr ls) op)]))]) (cons (extremsuche 0 ls >) (extremsuche 0 ls <))))) (define balken (lambda (hoehe breite turtle) (forward turtle breite) (left turtle 90) (forward turtle hoehe) (left turtle 90) (forward turtle breite) (left turtle 90) (forward turtle hoehe) (left turtle 90) (forward turtle breite))) (define balkendiagramm (lambda (ls nr) (let* ([breite (/ maxbreite (length ls))] [extremwerte (minmax ls)] [min (car extremwerte)] [max (cdr extremwerte)] [canvas (eval (string->symbol (string-append "canvas" (number->string nr))))] [turtle (eval (string->symbol (string-append "turtle" (number->string nr))))]) (letrec ([zeichnen (lambda (min max ls) (if (null? ls) 'ok (begin (balken (floor (* (/ (car ls) (- max min)) maxhoehe)) (floor breite) turtle) (zeichnen min max (cdr ls)))))]) (clear canvas) (hide turtle) (move turtle rand (+ rand (* (/ max (- max min)) maxhoehe))) (right turtle 90) (zeichnen min max ls)))))

Implementation von MergeSort

(define zufallszahl (lambda (min max) (+ (random (- max min -1)) min))) (define zufallsliste (lambda (min max anzahl) (if (= anzahl 0) () (cons (zufallszahl min max) (zufallsliste min max (- anzahl 1)))))) ;Teile eine Liste in zwei annähernd gleich große Teillisten (define teilen (lambda (ls) ...)) ;Setze zwei Teillisten zu einer geordneten Gesamtliste zusammen (define zusammensetzen (lambda (ls1 ls2) ...)) ;MergeSort (define mergesort (lambda (ls) (cond [(null? ls) ls] [(null? (cdr ls)) ls] [else (let ([tls (teilen ls)]) (zusammensetzen (mergesort (car tls)) (mergesort (cadr tls))))])))

Ungeordnete Zufallszahlen:

Geordnete Zufallszahlen:

(define ls (zufallsliste 1 1000 100)) (balkendiagramm ls 1) (define ls-sort (mergesort ls)) (balkendiagramm ls-sort 2)

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MergeSort ist damit auch ein klassischer Teile-und-herrsche-Algorithmus.

Effizienz von MergeSort

Wir wollen auch für MergeSort eine empirische Analyse des Zeitaufwands vornehmen und definieren dazu:

(define count 0) (define mergesort-aufwand (lambda (ls) (letrec ([teilen (lambda (ls) (cond [(null? ls) (list () ())] [(null? (cdr ls)) (list ls ())] [else (set! count (+ 1 count)) ;Teilen (let ([tls (teilen (cddr ls))]) (list (cons (car ls) (car tls)) (cons (cadr ls) (cadr tls))))]))] [zusammensetzen (lambda (ls1 ls2) (cond [(null? ls1) ls2] [(null? ls2) ls1] [else (set! count (+ 1 count)) ;geordnetes Zusammensetzen (if (< (car ls1) (car ls2)) (cons (car ls1) (zusammensetzen (cdr ls1) ls2)) (cons (car ls2) (zusammensetzen ls1 (cdr ls2))))]))]) (cond [(null? ls) ls] [(null? (cdr ls)) ls] [else (let ([tls (teilen ls)]) (zusammensetzen (mergesort-aufwand (car tls)) (mergesort-aufwand (cadr tls))))])))) (define mergesort-ausgabe (lambda (min max anzahl) (let ([ls (zufallsliste min max anzahl)]) (set! count 0) (display "Ungeordnete Zufallszahlen:") (display ls) (display "Geordnete Zufallszahlen:") (display (mergesort-aufwand ls)) (display "Anzahl der Teilungen und Zusammensetzungen: " (number->string count)) 'ok)))

(mergesort-ausgabe 1 1000 20)

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Wenige Tests bestätigen unsere Vermutung: MergeSort scheint ebenso effizient zu sein wie QuickSort.
Die Überprüfung erfolgt wieder mit den bekannten Prozeduren für Mehrfachexperimente sowie den entsprechenden grafischen Darstellungen. Dabei wollen wir auch den Fall einbeziehen, bei dem bereits eine sortierte Zahlenliste vorliegt:

(define mergesort-mehrfach (lambda (min max anzahl whlg) (letrec ([summe (lambda (n) (if (= n 0) 0 (begin (set! count 0) (mergesort-aufwand (zufallsliste min max anzahl)) (+ count (summe (- n 1))))))]) (/ (summe whlg) whlg))))

(mergesort-mehrfach 1 1000 20 10)

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(define experiment (lambda (min max anzahl schrittweite whlg) (if (< anzahl 1) () (append (experiment min max (- anzahl schrittweite) schrittweite whlg) (list (mergesort-mehrfach min max anzahl whlg)))))) (define mergesort-worst-case (lambda (min max anzahl) (set! count 0) (mergesort-aufwand (mergesort (zufallsliste min max anzahl))) count)) (define experiment-worst-case (lambda (min max anzahl schrittweite) (if (< anzahl 1) () (append (experiment-worst-case min max (- anzahl schrittweite) schrittweite) (list (mergesort-worst-case min max anzahl))))))

MergeSort: average-case

MergeSort: worst-case

(balkendiagramm (experiment 1 1000 20 1 10) 3) (balkendiagramm (experiment-worst-case 1 1000 20 1) 4)

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Damit bestätigt sich, dass der Zeitaufwand im Average- und Worst-case-Fall $T(n) = \mathcal{O}(n \cdot \log_2 n)$ beträgt.

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