Vorlesung1
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Ausgewählte mathematische Grundlagen
Aufgabe 3
Für die folgende Implikation ist die zugehörige Wahrheitstafel aufzustellen.
Implikation: $\lnot B \land (A \rightarrow B) \Rightarrow \lnot A$
| $A$ | $B$ | $\lnot A$ | $\lnot B$ | $A \rightarrow B$ | $\lnot B \land (A \rightarrow B)$ | $\lnot B \land (A \rightarrow B) \Rightarrow \lnot A$ |
| w | w | f | f | w | f | w |
| w | f | f | w | f | f | w |
| f | w | w | f | w | f | w |
| f | f | w | w | w | w | w |
Für jede mögliche Belegung der Variablen $A$, $B$ und $C$ trift die Implikation zu. Somit handelt es sich hierbei um eine Tautologie.
Aufgabe 6
Für die folgenden logischen Ausdrücke sollen durch Wahrheitstafeln auf Richtigkeit überprüft werden.
Kontraposition: $(A \rightarrow B) \Leftrightarrow ( \lnot B \rightarrow \lnot A)$
| $A$ | $B$ | $\lnot A$ | $\lnot B$ | $A \rightarrow B$ | $\lnot B \rightarrow \lnot A$ | $(B \rightarrow A) \Leftrightarrow ( \lnot B \rightarrow A)$ |
| w | w | f | f | w | w | w |
| w | f | f | w | f | f | w |
| f | w | w | f | w | w | w |
| f | f | w | w | w | w | w |
Die Wahrheitstafel zeigt die Tautologie des logischen Ausdrucks der Kontraposition. Somit ist nachgewiesen, dass der Ausdruck richtig.
Widerspruchsbeweis: $(A \rightarrow B) \Leftrightarrow (A \land \lnot B \rightarrow f)$
| $A$ | $B$ | $\lnot B$ | $A \rightarrow B$ | $A \land \lnot B$ | $(A \rightarrow B) \Leftrightarrow (A \land \lnot B)$ |
| w | w | f | w | f | f |
| w | f | w | f | w | f |
| f | w | f | w | f | f |
| f | f | w | w | f | f |
Da die Implikation $A \Rightarrow B$ logisch äquivalent zu der Aussage $\lnot A\lor B$ ist, lässt sich einfach anhand einer Wahrheitstafel zeigen. Demzufolge ist $\lnot (A \Rightarrow B)$ ebenfalls logisch äquivalent zu $A \land \lnot B$. Somit kann die Implikation $A \Rightarrow B$ durch die Widerlegung der Aussage $A \land \lnot B$ bewiesen werden.
Die Wahrheitstafel zeigt genau diesen Sachverhalt, was die Richtigkeit des logischen Ausdrucks des Widerspruchsbeweis bestätigt.
Aufgabe 8
Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen $A \rightarrow B$, $B \rightarrow C$ und $\lnot C$ die Gültigkeiten von $\lnot A$ und $\lnot B$ folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Wahrheitstafel dar.
| Nummer | $A$ | $B$ | $C$ | $\lnot A$ | $\lnot B$ | $\lnot C$ | $A \rightarrow B$ | $B \rightarrow C$ |
| 1 | w | w | w | f | f | f | w | w |
| 2 | w | w | f | f | f | w | w | f |
| 3 | w | f | w | f | w | f | f | w |
| 4 | w | f | f | f | w | w | f | w |
| 5 | f | w | w | w | f | f | w | w |
| 6 | f | w | f | w | f | w | w | f |
| 7 | f | f | w | w | w | f | w | w |
| 8 | f | f | f | w | w | w | w | w |
Damit die oben genannte Aussage zutrifft, müssen die Variablen $A$, $B$ und $C$ mit $f$ belegt sein.
Was kann man über die Gültigkeit von A und B schließen, wenn bekannt ist, dass $A \rightarrow B$, $B \rightarrow C$ und $C$ gelten? Verwenden Sie die Tabelle aus der vorhergehenden Aufgabenlösung.
| Nummer | $A$ | $B$ | $C$ | $\lnot A$ | $\lnot B$ | $\lnot C$ | $A \rightarrow B$ | $B \rightarrow C$ |
| 1 | w | w | w | f | f | f | w | w |
| 2 | w | w | f | f | f | w | w | f |
| 3 | w | f | w | f | w | f | f | w |
| 4 | w | f | f | f | w | w | f | w |
| 5 | f | w | w | w | f | f | w | w |
| 6 | f | w | f | w | f | w | w | f |
| 7 | f | f | w | w | w | f | w | w |
| 8 | f | f | f | w | w | w | w | w |
Unter der Annahme, dass die Aussage $A \rightarrow B$, $B \rightarrow C$ und $C$ gültig ist, gibt es 3 mögliche Belegungen von $A$ und $B$.
$(w,w)$, $(f,w)$ sowie $(f,f)$
Aufgabe 11
Für die Folg. definierte Funktion $q:\R \rightarrow \R$ ist an der Stelle $x=3$ undefiniert. Hierfür wird das Symbol $\bot$ verwendet.
$q(x) = \left \{ \begin{array}{ll} \frac{ 35 }{ x-3 } & \mbox{, wenn } x \neq 3 \\ \bot & \mbox{, sonst. } \end{array} \right.$
Schreiben Sie ein Programm, das q berechnet.
