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Inhaltsverzeichnis

"Sortieren" - Vergleich zweier Zahlen

(Ein Beispiel aus der Wissenschaftlichen Arbeit im Fach Informatik "Bildungsstandards Informatik - Aufgaben für den Unterricht zum Thema "Algorithmen" von Stefan Renz, TU Dresden, 2010)

Am Kölner Dom wurde über 600 Jahre gebaut, als er 1880 fertig wurde, war er allerdings nur für vier Jahre das höchste Gebäude der Welt. Hier eine Auswahl sehr hoher Gebäude:

Name Höhe
Kölner Dom 157m
Eiffelturm 300m
Cheops-Pyramide 147m
Burj Khalifa 828m
Washington Monument 169m
Sendemast Radio Warschau 646m
Empire State Building 449m


  1. Überlege Dir einen Algorithmus, der zwei Zahlen als Eingabe verarbeitet und die größere von beiden als Ergebnis ausgibt. Halte diesen Algorithmus als Struktogramm fest.
  2. Was passiert bei Deinem Algorithmus, wenn die beiden Zahlen gleich groß sind?
  3. Setze den Algorithmus in der vorbereiteten Box um.


<eval id="4cc726df709fc"></eval>

Potenz und Betrag/Abstand

Gegeben ist folgendes Struktogramm. Datei:Struktogramm(v2).JPG

Teste den dargestellten Algorithmus mit den Werten x = 5, y = 8 und z = 3 sowie anderen, selbst gewählten Werten. Erläutere die Bedeutung der Variablen.
Schreibe Deine Antwort in die Box hinter write:

<eval id="4cc728e2c48fd"> begin write(' '); end. </eval>


Implementiere den dargestellten Algorithmus in der nachfolgenden Box als function xyz1 (Teilalgorithmus Potenz)

<eval id="4cc728e2c4a12"> begin writeln(inttostr(xyz1(...))); end. </eval>


Implementiere den zweiten Teil des Algorithmus in der nachfolgenden Box als function xyz2 (Teilalgorithmus Betrag/Abstand)

Zufallszahlen und Würfelspiele

In den nächsten (letzten) Übungen mit dem PWiki werden wir noch ein paar "Spiele" mit Zufallszahlen erstellen. Anschließend werden wir mit einer Anwendersoftware (Fischer-Technik) Modelle bauen und steuern!

Doch zunächst:

Erzeugen von Zufallszahlen


<eval id="4cec1965a9ae3"> begin writeln(inttostr(zufall(100))); end.

</eval>


Würfeln

Nun sollen nur Ergebnisse zufällig erzeugt werden, wie sie an einem idealen Würfel eintreten können.
Ergänze die Boxen analog dem obigen Beispiel und teste das Ergebnis.


<eval id="4cec1965a9bf2"> begin // dein Text end.

</eval>


Simuliere nun ein Würfelspiel mit einem idealen Würfel. Für eine Anzahl von Würfen soll die Anzahl aller geworfenen Augenzahlen ausgegeben werden.

Hinweis: Es soll also für jede mögliche Augenzahl eine Variable vereinbart werden, eine beliebige Anzahl von (simulierten)
Versuchen durchgeführt werden und die Anzahl der gewürfelten Einsen, Zweien, ..., Sechsen ausgegeben werden.

Stelle den notwendigen Algorithmus in einem Struktogramm dar.
Benutze dazu das Tool structorizer.

  • Erstelle mit dem Programm das Struktogramm
  • Speichere das Struktogramm als Bild (Format .jpg)
  • füge dein Bild im PWiki ein


250px 250px
Lucie Martin Jennifer
250px 250px 250px
Till Florian Sebastian
100px 100px 250px
Ivan Ronny Marko
100px 250px 100px
Claudia Maximilian Lucas



<eval id="4cec1965a9d02">


</eval>


Wir stellen fest, dass eine function nur einen Wert (ein Resultat) zurückliefern kann.
Daher brauchen wir eine weitere Möglichkeit, die mehrere Ergebnisse liefert.
Dies geschieht unter Verwendung einer procedure, wobei die Rückgabewerte (Ergebnisvariablen) mit var angefügt werden (vergleiche Box).



<eval id="4d243865b40ec">

</eval>


Formuliere anhand der Simulation eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse beim Würfeln.


zum Weiterarbeiten: Zeige durch eine analoge Simulation, dass die Zufallsgröße "Augensumme beim Würfeln mit zwei idealen Würfeln" nicht gleichverteilt ist.

Die Bezeichnung Algorithmus geht auf den Namen Muhammad ibn Musa, Abu Dscha'far al-Chwarizmi (* um 780; † um 850), einem persischen Mathematiker, Astronomen und Geographen, zurück. Diesem Universalgelehrten verdanken wir nicht nur die Einführung der Null aus dem indischen in das arabische Zahlensystem, sondern auch das Wort "Algebra", das der lateinischen Übersetzung seines Buches Kitāb al-muchtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala ("Rechnen durch Ergänzung und Ausgleich") entnommen ist.

Der Algorithmusbegriff

Es existiert eine Vielzahl von Versuchen einer Definition für den Begriff Algorithmus.
z.B.:

  1. Als ”Algorithmus [..] bezeichnet [man] heute in der Arithmetik einen Rechenvorgang (bzw. die ihn beschreibenden Regeln) der nach einem bestimmten sich wiederholenden Schema abläuft" (Meyers Enzyklopädie, 1971)
  2. ”Ein Algorithmus [..] ist eine vollständige, präzise und in einer Notation oder Sprache mit exakter Definition abgefasste, endliche Beschreibung eines schritt- weisen Problemlösungsverfahrens zur Ermittlung gesuchter Datenobjekte (ihrer Werte) aus gegebenen Werten von Datenobjekten, in dem jeder Schritt aus einer Anzahl ausführbarer, eindeutiger Aktionen und einer Angabe über den nächsten Schritt besteht.”(Pomberger, Gustav; Dobler, Heinz: Algorithmen und Datenstrukturen - Eine systematische Einführung in die Programmierung. München : Pearson Education Deutschland GmbH, 2008)
  3. ”Ein Algorithmus ist eine detaillierte und explizite Vorschrift zur schrittweisen Lösung eines Problems.”(Gumm, Heinz P.; Sommer, Manfred: Einführung in die Informatik. München : Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2006)

Wir begnügen uns mit einer anschaulichen (intuitiven) Erklärung:

Ein Algorithmus ist eine endliche Folge von eindeutigen und ausführbaren Anweisungen zur Lösung eines allgemeinen Problems.


Eigenschaften von Algorithmen

  1. Endlichkeit: (Finitheit)
    • endliche Notation des Algorithmus, (statische Endlichkeit)
    • Nutzung endlicher Ressourcen (z.B. begrenzter Arbeitsspeicher / begrenzte Rechenzeit) - dynamische Endlichkeit
  2. Terminiertheit
    • endlich viele Abarbeitungsschritte - Endlichkeit im Ablauf (z.B. begrenzte Rekursionstiefe), der Algorithmus liefert also bei jeder Anwendung nach endlich vielen Verarbeitungsschritten ein Resultat
    • Bei Nichterfüllung: Endlosschleife (Ausnahmen: OS; interaktive Programme)
  3. Deterministisch
    • nach jedem Abarbeitungsschritt besteht höchstens eine Möglichkeit der Fortsetzung
  4. Eindeutigkeit: (Determiniertheit)
    • gleiche Eingabegrößen und Anfangsbedingungen liefern stets das gleiche Ergebnis
  5. Ausführbarkeit:
    • jede Anweisung ist (z.B. für einen Prozessor) verständlich und ausführbar
  6. Allgemeingültigkeit:
    • Anwendbarkeit auf gleiche Probleme einer Problemklasse.



Beispiele

Syntax von Funktionen

Beispiel für eine Funktion in einer imperativen Programmierumgebung

Datei:Function.JPG

Aufruf der Funktion im Hauptprogramm

Datei:Function 2.JPG


hier nun Beispiele für die Syntax im PWIKI



einfache Addition

<eval id="4bc596ef084eb"> begin writeln(inttostr(addi(3,4))); end. </eval>

Ergänze die ähnliche Funktion addi3 zur Bildung der Summe dreier reeller Zahlen!

<eval id="4bccb71f48edc"> begin writeln(floattostr(addi33(3,4,5))); end. </eval>


 

Quelltext überprüfen:

Quadrat einer Zahl

<eval id="4bc4611f3a5f1"> begin writeln(inttostr(quadrat(2))); end. </eval>


Beispiel 3

Untersuche diese Funktion.
Gib Deine Lösung in der zweiten Zeile zwischen den Anführungszeichen an.

<eval id="4bc596ef0a437"> begin writeln(inttostr(was(2,4,6))); writeln(); end. </eval>

Gute Wünsche für den Tag

Ergänze die Anweisungen so, dass in der Ausgabe Wünsche für die Tage 1 bis 5 ausgegeben werden.
Worin unterscheidet sich der Quelltext von den obigen Beispielen?


<eval id="4bc596ef0b3cb"></eval>

Grundlagen der Unterprogrammarbeit (Modularisierung)


function

Beispiel für eine Funktion in einer imperativen Programmierumgebung

Datei:Function.JPG

Aufruf der Funktion im Hauptprogramm

Datei:Function 2.JPG


hier ein Beispiel für die Syntax im WIKI


<eval id="4b96b9dd51145"> begin writeln(inttostr(addi(3,4))); end. </eval>

Ergänze die ähnliche Funktion addi3 zur Bildung der Summe dreier reller Zahlen!

<eval id="4b96b9dd520e6"> begin writeln(floattostr(addi3(3,4,5))); end. </eval>

 

Quelltext überprüfen:


procedure

Beispiel für eine Prozedure in einer imperativen Programmierumgebung

Datei:Prozeduren.JPG

Aufruf der Prozedur im Hauptprogramm

Datei:Prozeduren 2.JPG


hier ein Beispiel für die Syntax im WIKI


<eval id="4b96b9dd53085"> var erg: string; begin dreieck(4,3,5.2,erg); writeln(erg); end. </eval>


Neujahrswünsche in Pascal:

<eval id="4b96b9dd54025"></eval>

Die folgenden Übungsaufgaben dienen der Festigung des Umgangs mit den algorithmischen Grundstrukturen.


1. Entwickle einen Algorithmus für die Berechnung der Summe der ersten n natürlichen Zahlen.

Setze diesen in Pascal um.


<eval id="4bcecd8d1833c"> begin writeln(inttostr(summe_erste_n(5))); end. </eval>



2. Übertrage diesen Algorithmus auf die Berechnung einer Fakultät!


<eval id="4bced86216bbc"> begin writeln(inttostr(fak_n(5))); end. </eval>



3. Gegeben ist folgendes Struktogramm. Implementiere den damit dargestellten Algorithmus in der nachfolgenden Box als function xyz und

teste ihn mit den Werten x = 5, y = 8 und z = 3. Erläutere die Bedeutung der Variablen.
] Datei:Struktogramm(v2).JPG


<eval id="4bd7d28b3972d"> begin writeln(inttostr(xyz(...))); end. </eval>


Eine Funktion gibt nur einen Wert (a oder b) zurück.

Daher nun diesen Algorithmus als procedure schreiben.

<eval id="4bd80bd03eb3a"> begin writeln(...); end. </eval>


4. Abschließend soll ein Programm geschrieben werden, das entscheidet, ob eine quadratische Funktion keine, genau eine oder genau zwei Nullstellen besitzt. Die Werte dieser Nullstellen sind auszugeben.
vorher Algorithmus formulieren und z.B. Struktogramm entwerfen!


<eval id="4bd8132f813eb"> begin writeln(...); end. </eval>

Bei einer Mathematikolympiade wurde folgende Aufgabe gestellt:

20 m Stoff werden auf einen Stab von 5 cm Durchmesser aufgewickelt.
Der Stoff ist 1 mm dick. Wie dick wird die Rolle?

Eine Realisierung des Sachverhalts als Programm könnte folgendermaßen aussehen:

<eval id="4bde843d508a4"> begin writeln(floattostr(dick)); end. </eval>


Modifizieren Sie den Quelltext.
Verwenden Sie anstelle repeat-until eine Schleife mit vorangestellter Bedingung.

<eval id="4bde84feb9e7b"> begin writeln(floattostr(dick2)); end. </eval>


Sie werden festgestellt haben, dass unsere Lösung für die Problemstellung keinem Algorithmus entspricht. Es wird lediglixch ein konkretes Problem durch Programmierung gelöst!
Die Aufgabe wird im Folgenden also verallgemeinert. Der aufzustellende Algorithmus löst dann eine Klasse gleichartiger Probleme, wobei die Abarbeitung abhängig von den Eingaben eindeutig, endlich erfolgt und unter gleichen Bedingungen zum gleichen Ergebnis führt.


Stoff beliebiger Länge wird auf einen Stab mit beliebigem Durchmesser aufgewickelt.
 Der Stoff ist beliebig dick. Wie dick wird die Rolle?


<eval id="4bde875239072"> begin writeln(floattostr(dick3(...))); end. </eval>

Zufallszahlen

Erzeugen von Zufallszahlen

zunächst als function, die aufgerufen wird:


<eval id="4be10a1ebb218"> begin writeln(inttostr(zufall(100))); end.

</eval>


andere, kürzere Variante:

<eval id="4be1207f5f5c1"> begin writeln(inttostr(random(100))); end. </eval>

Ist diese Variante für Programme praktikabel?


Würfeln

Simulieren Sie ein Würfelspiel mit einem idealen Würfel. Für eine Anzahl von Würfen soll die Anzahl der geworfenen Augenzahlen ausgegeben werden.


<eval id="4bf2b9d356f46">


</eval>

Formulieren Sie anhand der Simulation eine Aussage über große Zahlen und die Wahrscheinlichkeit. ("Gesetz der großen Zahlen")


zum Weiterarbeiten: Zeigen Sie durch eine analoge Simulation, dass die Zufallsgröße "Augensumme beim Würfeln mit zwei idealen Würfeln" nicht gleichverteilt ist. 



procedure wuerfelsumme(n:integer;var z,d,v,f,s,si,a,ne,ze,e,zw:integer);
var i,zz1,zz2,sum:integer;
begin
z:=0;d:=0;v:=0;f:=0;s:=0;si:=0;a:=0;ne:=0;ze:=0;e:=0;zw:=0;
for i:=1 to n do 
begin
zz1:=random(6)+1;
zz2:=random(6)+1;
sum:=zz1+zz2;
if sum=2 then z:=z+1;
if sum=3 then d:=d+1;
if sum=4 then v:=v+1;
if sum=5 then f:=f+1;
if sum=6 then s:=s+1;
if sum=7 then si:=si+1;
if sum=8 then a:=a+1;
if sum=9 then ne:=ne+1;
if sum=10 then ze:=ze+1;
if sum=11 then e:=e+1;
if sum=12 then zw:=zw+1;
end;
end;

Der Datentyp Feld (Array)

Neben den einfachen Datentypen gibt es auch zusammengesetzte, z.B. Felder (auch Listen, Array). In einem Array werden Werte gleichen Datentyps gespeichert.

Die Deklaration eines Arrays erfolgt folgendermaßen: 

var xyz: array[startindex .. endindex] of Datentyp;

startindex..endindex gibt den Bereich zwischen Startwert und Endwert angeben (Randwerte werden mit eingeschlossen). Dies entspricht dem bereitgehaltenen Speicherplatz. Über den Index (meist mit bezeichnet) kann man auf die einzelnen Werte zugreifen. 

var beispiel: array[0..20] of integer;

Ein Feld wird über den Index gefüllt, z.B. für und so: 

beispiel[1]:=3;
beispiel[5]:=22;

Das Feld sei dann z.B. so gefüllt ist: [10,3,6,7,9,22,...].
Bestimmen Sie die Werte, die dann die Variablen und nach den folgenden Anweisungen liefern! 

a:=beispiel[0];
b:=beispiel[2];


weitere Hinweise z.B. unter [1]


Beispiele zu Feldern

Zufallszahlen und Felder

<eval id="4bf2b9d357ee5"> var z:array[0..10] of integer; var i:integer; begin for i:=0 to 5 do begin z[i]:=zufall2(100); writeln(inttostr(z[i])); end; end.

</eval>

zum Weiterarbeiten: Füllen Sie ein Feld mit 5 zufälligen Zahlen. Bestimmen Sie die Position (Index) des Maximums. Lassen Sie sich zur Kontrolle die Zufallszahlen anzeigen. 

var feld:array[0..4]of integer;
var i,max,index:integer;
begin
max:=0;index:=0;
for i:=1 to 5 do feld[i-1]:=random(100);
for i:=1 to 5 do 
if feld[i-1]>max then begin 
                      max:=feld[i-1];
                      index:=i;
                      end;
for i:=1 to 5 do writeln(inttostr(feld[i-1]));
writeln('Maximum an Position '+inttostr(index));
end.


Hofstadter-Funktion

Eine sehr interessante, aber äußerst undurchsichtige Folge natürlicher Zahlen wird durch die Hofstadter-Funktion beschrieben:

für mit

(aus: Douglas R. Hofstadter:"Gödel, Escher, Bach: an eternal golden braid" (1979) - ein Beispiel für eine chaotische Zahlenfolge, die aber doch gesetzmäßig erzeugt wird)


<eval id="4bf2f8b405adc"> var hf:array[0..50] of integer; var j,k:integer; begin 

k:=15;
hf[1]:=1;
hf[2]:=1;
for j:=3 to k do hf[j]:=hf[j-hf[j-1]]+hf[j-hf[j-2]];
for j:=1 to k do write(inttostr(hf[j])+' ');

end. </eval>


Variieren Sie die Werte für sowie den endindex des Feldes.
Verdeutlichen Sie sich die Abarbeitung des Quell-Codes anhand eines Ablaufplanes!

Definition

Iteration bezeichnet das wiederholte Durchlaufen von Anweisungen. Typischerweise wird dabei mitgezählt, wie oft die jeweilige Aktion erledigt wird. Wir kennen dafür die Sprachkonstrukte for..to..do, while..do, repeat..until.

Bei einer Rekursion erfolgt die Definition eines Problems, einer Funktion oder eines Verfahrens "durch sich selbst". Es handelt sich also wieder um eine Wiederholung, aber ohne Schleife! Das Ergebnis eines Verfahrens für die Eingabe wird auf das Ergebnis des gleichen Verfahrens für eine Eingabe zurückgeführt, das Ergebnis des Verfahrens für die Eingabe wird wiederum auf das Ergebnis des Verfahrens für eine Eingabe zurückgeführt, usw.
Dabei muss mindestens für einen Wert das Ergebnis des Verfahrens bekannt sein!



Beispiele

Hofstadter

für mit

iterativ

<eval id="4bfc2770153da"> var hf:array[0..50] of integer; var j,k:integer; begin 

k:=15;
hf[1]:=1;
hf[2]:=1;
for j:=3 to k do hf[j]:=hf[j-hf[j-1]]+hf[j-hf[j-2]];
for j:=1 to k do write(inttostr(hf[j])+' ');

end. </eval>

rekursiv


<eval id="4bfc2a6c95b51"> var n,i:integer; begin 

n:=5;
for i:=1 to n do write(inttostr(hof(i))+' ');

end. </eval>

Fakultät

iterativ

<eval id="4bfc2e9e99a45"> begin writeln(inttostr(fak_it(3))); end. </eval>


Abarbeitung für n=4:

n

Ergebnis

1

4

4

3

12

2

24

1

24

rekursiv

<eval id="4bfc25fb32039"> begin writeln(inttostr(fak_rek(3))); end. </eval>

Abarbeitung für n=4:

Aufruf __;

danach "Abstieg in die Rekursionstiefe": 

     __; 
         __;
             __;
                __;

Für n=0 liefert das Verfahren den bekannten Wert 1.
Der rekursive "Aufstieg" liefert dann: 

               _;
               _;
               _;
               _;

Aufgabe

Schreiben Sie eine rekursive Funktion, die die Summe der ersten n Zahlen berechnet!


<eval id="4bfc358dbd4fe"> begin writeln(inttostr(su_rek(3))); end. </eval>


passende Iteration vergleiche Übungsaufgaben


Potenz

Schreibe passende Funktionen für die Berechnung einer Potenz!


iterativ


<eval id="4c06367e2075e"> </eval>


rekursiv


<eval id="4c06367e216fb">

</eval>



Die Fibonaccizahlen

Leonardo Fibonacci di Pisa (* um 1180; † 1241) beschrieb die Fortpflanzung von Kaninchen mit der Zahlenfolge:

Definition:

Beschreibung:

Die Kaninchenpaar bekommt nach zwei Monaten Nachwuchs (Pärchen!), dies dann jeden Monat. Die "Kinderpaare" verhalten sich genauso. Die Kaninchen leben "unendlich lange".

Das bedeutet:

  • Die ersten beiden Glieder der Zahlenfolge sind jeweils 1.
  • Jedes weitere Glied ergibt sich aus der Summe seiner beiden Vorgänger.

Prüfen!

siehe auch [2]


iterativ

Zunächst eine iterative Version:

<eval id="4c0ea67f7aa92"> begin writeln(inttostr(fibo_it(4))); end. </eval>


rekursiv

Schreiben Sie nun eine rekursive Funktion gemäß der oberen Beschreibung: 

function fibo_rek(n:integer):integer; 
begin
if (n=1) or (n=2) then result:=1
else result:= fibo_rek(n-1)+fibo_rek(n-2);
end;


<eval id="4c0ea8075e91c"> begin write(inttostr(fibo_rek(3))); end. </eval>

 

Quelltext überprüfen:


Ackermann-Funktion

Die Ackermann-Funktion folgendermaßen definiert:

Definition:




Informationen zur Ackermann-Funktion unter [3]


Stellen Sie die rekursiven Aufrufe für dar!


Implementieren Sie eine rekursive Funktion:

<eval id="4c0f6e181859e">

</eval>


iterativ


Zusammenfassung

Rekursion bietet sich dann an, wenn man ein gestelltes Problem durch eine Funktion schrittweise in ein etwas einfacheres Problem umwandeln kann.

typischer Aufbau einer rekursiven Funktion

  • 1. -Befehl, der das Ende der Selbstaufrufe bestimmt
  • 2. ein Aufruf der Funktion selbst

Nachteile der Rekursion

  • 1. Jeder Aufruf kostet Zeit - Rekursion prinzipiell langsamer als Iteration
  • 2. jeder Aufruf kostet Speicherplatz - viel Speicher im Stack (Speicherstapel)

Jede Iteration kann als Rekursion formuliert werden, jede Rekursion als Iteration (teilweise schwierig). Rekursionen werden durch den Compiler bzw. Interpreter der Programmiersprache aufgelöst - der PC-Prozessor arbeitet iterativ.

Vorbemerkungen

Das Sortieren (und Suchen) ist in der Informatik umfassend untersucht worden, weil Sortieralgorithmen in zahlreichen Anwendungen verwendet werden (Datenbanken, Compiler, Betriebssysteme etc.).

Grundsätzlich gibt es drei Methoden zum Sortieren:

  • Auswählen
  • Einfügen
  • Austauschen

Wir besprechen diese Verfahren an Hand des Sortierens von Spielkarten: Beim Auswählen breitet man die Karten auf dem Tisch aus und wählt die niedrigste Karte. Anschließend wird die nächste Karte gewählt und hinter die niedrigste gereiht, usw. Beim Sortieren durch Einfügen hält man die Karten in der Hand, nimmt jeweils die nächste und fügt sie in einen am Tisch liegenden Stapel so ein, dass sie jeweils an der richtigen Stelle zu liegen kommt. Die Karten sind sortiert, sobald man keine Karte mehr in der Hand hält. Um die Karten durch Austauschen zu sortieren, breitet man die Karten in beliebiger Reihenfolge auf dem Tisch aus und tauscht dann die falsch liegenden Karten solange aus, bis der Satz geordnet ist.

Für die "Güte" eines Sortieralgorithmus sind folgende Kriterien ausschlaggebend: 

  1.	Wie schnell sortiert der Algorithmus durchschnittlich Informationen? 
  2.	Wie schnell ist er im günstigsten und ungünstigsten Fall? 
  3.	Verhält sich der Algorithmus natürlich (d.h. hat er bei gut sortierten Listen wenig und bei ziemlich ungeordneten  
        Listen viel zu tun)? 
  4.	Ordnet er Elemente mit gleichen Schlüsseln um?

Sortieralgorithmen bieten sich als grundlegendes Thema für die Analyse von Algorithmen an.



Sortieren durch Auswählen (Minimumsuche)

Die Idee einer der einfachsten Sortieralgorithmen ist die folgende: Finde zunächst das kleinste Element im Datenfeld und tausche dieses gegen das an der ersten Stelle befindliche Element aus. Anschließend finde das zweitkleinste Element, tausche es gegen das zweite Element aus ... usw.

Diese Sortiermethode ist für kleine Dateien sehr gut brauchbar. Zu beachten ist, dass jedes Element tatsächlich nur einmal getauscht wird. 


       Prinzip: Aus einer Menge wird das kleinste Elelment ausgewählt und mit dem ersten Element vertauscht.
       Diese Vorgänge werden wiederholt ,wobei die Anzahl der Elemente bei jeder Wiederholung von vorn um eins verringert wird.
       Zuletzt werden nur noch zwei Elemente überprüft und gegebenenfalls vertauscht.


Auswaehlen2.JPG unsortiertes Feld





36 mit 99 vertauscht,

anschließend kleinstes Element
des Restfeldes (roter Pfeil) mit 99 vertauscht







77 mit 99 vertauscht, anschließend kleinstes Element
des Restfeldes mit 99 vertauscht...

Auswaehlen4.JPG


Implementiert könnte dies so aussehen:


<eval id="4c1b17ab54d27"> var z:array[0..7] of integer; var i,j,k,h:integer; begin for i:=0 to 7 do begin z[i]:=random(20)+1; write(inttostr(z[i])+' '); end; for i:=0 to 7 do begin 

k:=i;  
for j:=i to 7 do  
if z[j]<z[k] then k:=j;  
h:=z[i];  
z[i]:=z[k];  
z[k]:=h;

end; writeln(); writeln(); for i:=0 to 7 do write(inttostr(z[i])+' '); end. </eval>


Sortieren durch Einfügen 

       Prinzip: Man wählt ein Element (nacheinander vom zweiten bis zum letzten) und fügt es jeweils an die richtige 
       Stelle der davorstehenden geordneten Teilmenge ein.


Einfuegen2.JPG unsortiertes Feld; zweites Element herausgenommen und
vor dem Ersten eingefügt






sechstes Element genommen und als viertes eingefügt,
dabei werden viertes und fünftes (alt) neues
fünftes und sechstes Element





Letztes Element an die richtige Stelle, Feld vollständig sortiert


Einfuegen4.JPG


Implementieren Sie das Sortieren durch Einfügen analog zum Sortieren durch Auswählen!

<eval id="4c1b265b1e11e">

</eval>

Sortieren durch Austauschen (Bubblesort)

Dieses Sortierverfahren wird häufig erklärt, obwohl es wahrscheinlich das ungünstigste Sortierverfahren darstellt, das jemals realisiert worden ist: Durchlaufe immer wieder das Feld und vertausche jedesmal, wenn es notwendig ist, benachbarte Elemente. Die Datei ist sortiert, wenn kein Austausch mehr notwendig ist. Der Algorithmus erhält seinen Namen von der Tatsache, dass die Elemente - ähnlich wie Blasen im einem Glas Mineralwasser - aufsteigen, bis sie an der richtigen Stelle sind. 


       Prinzip: Vom letzten Element einer Menge an werden jeweils zwei benachbarte Elemente verglichen und ausgetauscht, wenn
       sie falsch sortiert sein sollten. Dabei wandert da kleinste Element an die erste Stelle.
       Das Vergleichen und Austauschen wird mit Ausnahme dieses bereits richtig postierten Elements wiederholt.
       Das Sortieren kann aufsteigend (links nach rechts) oder absteigend (umgekehrt) erfolgen.


Austauschen2.JPG

unsortiertes Ausgangsfeld,

die 83 ist falsch sortiert und wird bis zum Feldindex,
der einen Wert größer als 83 enthält, verschoben, anschließend wird
die 97 und die 32 vertauscht, wonach die 97 als größte Zahl des
Feldes als erste an der richtigen Stelle steht.

Das Vergleichen beginnt wiederum von vorn, wobei die Zahlen
64 und 41 sowie 90 und 32 vertauscht werden.
Die 90 steht damit als zweite Zahl an der richtigen Stelle.


Anschließend wird die 32 nach links durchgereicht
und das Feld ist vollständig sortiert.

Austauschen4.JPG


Implementieren Sie Bubblesort analog zum Sortieren durch Auswählen!

<eval id="4c1f0917ac95b">

</eval>


Quicksort

Das Sortieren durch Minimumsuche (MinSort) ist nicht sehr effizient.
Wir betrachten deshalb den nachfolgenden Algorithmus und implementieren ihn.

Beschreibung:

  • Benutze das erste Element einer (numerischen) Liste als Trennelement.
  • Erzeuge zwei Teillisten, deren Elemente kleiner bzw. größer als das Trennelement sind.
  • Setze dieses Verfahren für jede nichtleere Teilliste fort und
  • füge die sortierten Teillisten zur Gesamtliste zusammen.


Den so beschriebenen Sortieralgorithmus bezeichnet man als QuickSort (schnelles Sortieren). Er wurde 1962 von dem britischen Informatiker Sir Charles Antony Richard Hoare (* 11. Januar 1934) vorgestellt.


Prinzip Quelltext in Pascal
QuickSort-Beispiel1.gif Quicksort 2.JPG
C.A.R. Hoare



Der Algorithmus arbeitet nach dem Prinzip Teile und Herrsche.
weitere Informationen unter: [4]

Literatur

  • Fahldieck, Karl-Heinz: Algorithmen, Frankfurt am Main: Verlag Moritz Diesterweg, 1993
  • Sedgewick, Robert: Algorithmen, Bonn:Addison-Wesley Publishing Company, 1992
  • Hermann, Dietmar: Algorithmen Arbeitsbuch, Bonn; München; Paris, Addison-Wesley Publishing Company, 1992
  • Junger, Hans u.a.: Informatik, Frankfurt am Main; Aarau, Verlag Moritz Diesterweg; Verlag Sauerländer AG, 1988

Praktisch unlösbare Probleme

Schachcomputer

Es hat viele Jahre gedauert, ehe mit enormem Aufwand ein Schachprogramm vorgelegt werden konnte, dass sich mit einem Weltklassespieler messen konnte.
Dabei ist der erforderliche Algorithmus einfach:
Erzeuge zu jedem Zug des Gegners alle nach den Spielregeln mögliche Gegenzüge. Danach erzeuge alle Antwortzüge des Gegners usw.
Unter der Annahme, dass es in jeder Stellung nur 5 Fortsetzungsmöglichkeiten für den nächsten Spielzug gibt, ein Spiel im Mittel aus 60 Zügen (120 Halbzügen) besteht und zur Speicherung jedes Zustandes nur ein Byte gebraucht wird, würde der gesamte Speicherbedarf

betragen. Zumindest in den nächsten Jahren wird es nicht gelingen, den kompletten "Schachbaum" zu speichern. Der gewaltige Aufwand an Rechenzeit und Speicher verhindert eine praktische Realisierung.

Ackermannn-Peter-Funktion

siehe [[5]]
Es ist möglich, algorithmisch prinzipiell lösbare Probleme anzugeben, die auch von zukünftigen "Supercomputern" nicht bewältigt werden können. Ein Beispiel ist die Ackermann-Peter-Funktion, benannt nach dem deutschen Mathematiker Wilhelm Friedrich Ackermann (* 29. März 1896; † 24. Dezember 1962) und der ungarischen Mathematikerin Rózsa Péter (* 17. Februar 1905; † 16. Februar 1977):


Dabei handelt es sich um eine extrem schnell wachsende Funktion, die für die Klassifikation berechenbarer Funktionen eine große Bedeutung besitzt.
Die nachfolgende Tabelle veranschaulicht einige Funktionswerte:

n \ m012 345...
0123456...
1234567...
235791113...
35132961125253...
41365533...............
565533..................
........................

Bereits der Funktionswert von (ack 4 2) besitzt 19729 Dezimalstellen!
Sollte mit einem Computer die Berechnung (ack n m) möglich sein, so wird es immer einen Funktionswert (ack (+ n 1) (+ m 1)) geben, dessen Berechnung nicht mehr möglich ist. Es gibt also objektive Grenzen bei praktischen Problemlösungen.

P-Probleme und NP-Probleme

Problemen sieht man im Allgemeinen nicht an, ob sie bezüglich ihres Zeitaufwands schwer oder leicht lösbar sind.
Mitunter führt eine geringe Abweichungen in der Formulierung vergleichbarer Problemstellungen dazu, dass der Zeitaufwand zur Lösung fundamental verschieden ist, z.B.:

leicht, d.h. in schwer, d.h. in

Finde den kürzesten Weg zwischen zwei Orten A und B in einem Straßennetz mit angegebenen Entfernungen.

Finde den längsten Weg zwischen zwei Orten A und B in einem Straßennetz mit angegebenen Entfernungen.

Die Klasse der leichten Probleme heißen P-Probleme. Als NP-Probleme bezeichnet man schwere Probleme.

P ist die Klasse von Problemen, die mit deterministischen (siehe [[6]]) Algorithmen in polynomialer Zeit gelöst werden können.
Die Klasse der NP-Probleme ist die Menge aller Probleme, die nichtdeterministisch in Polynomialzeit gelöst werden können.

Wie muss man sich eine nichtdeterministische Problemlösung vorstellen?

  • 1. Schritt: Der Algorithmus "errät" einen Lösungskandidaten.
  • 2. Schritt: Der Algorithmus verifiziert, ob der Kandidat tatsächlich eine Lösung ist.

Beide Schritte erfordern einen polynomialen Zeitaufwand.
Jedes Problem aus P liegt auch in NP. Es konnte aber bisher nicht gezeigt werden, dass es ein Problem gibt, das nachweislich zu NP aber nicht zu P gehört.
Damit ist offen, ob

oder

gilt. An die Äquivalenz beider Klassen glaubt allerdings niemand.

NP-vollständige Probleme

Es gehört zu den herausragenden Leistungen der theoretischen Informatik, die schwersten Probleme zu einer separaten Klasse mit folgender Eigenschaft zusammenfassen zu können: Diese Probleme können in polynomialer Zeit ineinander überführt werden. Probleme dieser Klasse heißen NP-vollständig.
Sollte es je gelingen, einen effizienten (d.h. deterministisch polynomialen) Lösungsalgorithmus für ein Problem dieser Klasse zu finden, lassen sich auf einen Schlag alle Probleme dieser Klasse effizient lösen.
Derzeit sind mehr als 1000 NP-vollständiger Probleme bekannt. Dass es bisher nicht gelungen ist, einen effizienten Lösungsalgorithmus zu finden, spricht für die Vermutung .

Einige Beispiele für NP-vollständige Probleme:

Rucksackproblem
  • Rucksackproblem:
    Verschiedene Gegenstände sind mit ihrem Gewicht und ihrem Nutzwert gegeben. Eine Auswahl soll in einen Rucksack mit vorgegebenem Maximalgewicht gepackt werden, so dass der Gesamtwert der eingepackten Gegenstände maximal wird.
    Interessante Visualisierung ausprobieren.
    Anzahl der Gegenstände schrittweise erhöhen!
    Auf Bedeutung der Spalten achten!
  • Stundenplanproblem:
    Eine Zuordnung von Klassen und Fachlehrern zu Unterrichtsräumen und -zeiten soll so vorgenommen werden, dass eine möglichst große Zahl an vorgegebenen Nebenbedingungen erfüllt wird.
    Diese sind: Gütekriterien für Stundenpläne
    • Minimale Anzahl von Freistunden für die Schüler.
    • Die Unterrichtseinheiten finden vorzugsweise am Vormittag und am frühen Nachmittag statt und sind für Schüler gleichmässig über die Wochentage verteilt.
    • Die freien Zwischenstunden für Lehrer sollten eine individuell festzulegende Anzahl nicht überschreiten. Die Anzahl der Unterrichtseinheiten pro Tag sollte so festgelegt sein, dass eine ausgewogene Aufteilung der Einheiten erreicht wird.
    • Die Anzahl der Raumwechsel für Schüler sollte gering sein. Ein Wechsel zwischen entfernten Gebäudeteilen sollte höchstens einmal pro Tag erfolgen.
    • Anstrengende oder ermüdende Unterrichtseinheiten (z.B. Sport) sollten für Schüler möglichst nur am Anfang oder am Ende eines Unterrichtstages geplant werden.
    • Eine Klasse soll möglichst viele Unterrichtseinheiten bei ihrem Klassenlehrer bzw. in ihrem Klassenzimmer verbringen.
    Die bei der Stundenplanung zwingend vorgeschriebenen Restriktionen sind teilweise komplexe Beziehungen zwischen Unterrichtseinheiten. Ein Stundenplan, der alle Restriktionen erfüllt, heisst vollständiger Plan.
    Bestimmungen für einen vollständigen Plan:
    1. Eine Unterrichtseinheit kann nur zu einer Zeit stattfinden. Alle Lehrer und Gruppen, die an der Einheit beteiligt sind, und mindestens ein ihr zur Auswahl stehender Raum müssen diese Zeit zur Verfügung haben.
    2. Eine Veranstaltung besteht aus Blöcken. Tauscht man in einem Plan die Zeit- und Raumzuordnungen mehrerer gleich grosser Blöcke untereinander aus, so entsteht ein anderer Plan, der aber die gleichen Eigenschaften wie der Ausgangsplan besitzt.
    3. Lehrer und Gruppen können nicht zur gleichen Zeit an mehreren Unterrichtseinheiten teilnehmen, deshalb sind die Zeiten aller Unterrichtseinheiten eines Lehrers bzw. einer Gruppe verschieden.
    4. In einem Raum können zu einer bestimmten Zeit nicht mehrere Unterrichtseinheiten stattfinden, deshalb sind die Räume aller Unterrichtseinheiten, die zur gleichen Zeit stattfinden, verschieden.
    sowie
    1. Eine Zeiteinheit kann höchstens so oft verplant werden, wie Räume diese Zeit verfügbar haben.
    2. Fachunterricht findet häufig in einem dafür vorgesehenen Fachraum statt (z.B. Sport). Die Zeiten der Unterrichtseinheiten, die nur in einem solchen Fachraum durchgeführt werden, sind verschieden.
  • Problem des Handlungsreisenden:
    Die Reihenfolge für den Besuch mehrerer Orte so zu wählen, dass die gesamte Reisestrecke des Handlungsreisenden nach der Rückkehr zum Ausgangsort möglichst kurz ist und jeder Ort nur einmal besucht wird.
    hierzu: Beitrag der Süddeutschen Zeitung

Algorithmisch unlösbare Probleme

Hier ein Ausblick auf absolut unlösbare Probleme.


Das Halteproblem: Das Halteproblem ist ein Problem aus der Theoretischen Informatik. Es besteht darin, in einem bestimmten Berechnungskalkül zu entscheiden, ob die Ausführung einer bestimmten Berechnungsvorschrift zu einem Ende gelangt.

Die Entdeckung der Nichtentscheidbarkeit des Halteproblems hatte eine erschütternde Wirkung auf das herrschende mathematische Weltbild. Man versuchte gerade, die Mathematik durch eine strikte Formalisierung zu vereinheitlichen und den Regeln der Logik zu unterwerfen. Man ging davon aus, dass sich jedes mathematische Problem durch eine geeignete Formalisierung lösen lässt; dass es also immer möglich sei, eine Aussage so zu formulieren, dass man durch die Regeln der Logik und Mathematik erkennen kann, ob sie wahr oder falsch ist – gesucht war also ein vollständiges und widerspruchfreies System.
Nach den Erkenntnissen von Turing (vergleiche Alan Turing oder Turingmaschine) und Gödel ist so etwas jedoch grundsätzlich nicht möglich: in jedem System, das die Mächtigkeit der Arithmetik besitzt, lassen sich Aussagen formulieren, die weder bewiesen noch widerlegt werden können: solche Systeme sind grundsätzlich unvollständig. Oder anders ausgedrückt: es gibt Funktionen, die zwar wohldefiniert sind, deren Werte sich dennoch im Allgemeinen nicht berechnen lassen.
Das Halteproblem bedeutet nur, dass es Aufgabenstellungen gibt, die nicht mechanisch gelöst werden können. Eine Beschränkung der Mittel setzt aber keineswegs die Logik außer Kraft.

zum Weiterlesen: [7]


weitere Beispiele

Königsberger Brückenproblem
Damenproblem



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Folgende Aufgaben und Fragen stellen eine Auswahl dessen dar, was wir in den letzten Monaten mit Hilfe des PWiki behandelt haben.
Einige Inhalte sind auch ergänzend selbstständig zu erarbeiten!
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  1. Datentypen
    1. Unterscheiden Sie einfache und strukturierte Datentypen.
    2. Erläutern Sie die Bedeutung des Datentyps Feld anhand eines geeigneten Beipiels.
    3. Machen Sie sich mit den Verarbeitungsprinzipien LIFO und FIFO vertraut. Gehen Sie dabei auf die höheren Datenstrukturen Stapel und Schlange ein. Erläutern Sie das Prinzip anhand der Eingabe und Ausgabe des Wortes Erwin. Beachten Sie, dass Ein- und Ausgabe zeichenweise erfolgt (E, R, W, I, N) - Datentyp?
  2. Unterprogramme
    1. Erläutern Sie die Bedeutung der Verwendung von Unterprogrammen.
    2. Implementieren Sie je ein Beispiel auf "Ihrer" PWikiSeite!
    3. Notieren Sie zu dem abgebildeten Struktogramm ein symbolisches Programm (Quelltext).
      Struktogramm.JPG
    4. In einem Unterprogramm soll geprüft werden, ob sich aus drei eingegebenen Seitenlängen ein rechtwinkliges Dreieck ergibt. Schreiben Sie eine Prozedur dreiecksanalyse, die als Ausgabewert "ja" oder "nein" zurückgibt.
  3. Algorithmen
    1. Erläutern Sie Unterschiede von Iteration und Rekursion an einem Beispiel.
    2. Beschreiben Sie mit eigenen Worten einen Sortieralgorithmus.
    3. Gegeben sei ein Algorithmus zur Bestimmung des Maximums von n verschiedenen natürlichen Zahlen in einem Array A (siehe Struktogramm):
      Struktogramm4.JPG
      • Implementieren Sie den Algorithmus im PWiki.
      • Die Anzahl der Vergleichsoperationen sei ein Maß für das Zeitverhalten des Algorithmus.
        • Wie viele Vergleichsoperationen finden statt, wenn die Werte im Feld A lauten: [3;4;1;5;2]?
        • Wie viele Vergleichsoperationen finden bei n Werten im Feld A statt (n beliebig > 1)?
      • Die Anzahl der Wertzuweisungen in der Schleife sei ein weiteres Maß für die Komplexität dieses Algorithmus.
        • Wie viele Wertzuweisungen finden statt, wenn die Werte im Feld A lauten: [3;4;1;5;2]?
        • Wie viele Wertzuweisungen finden im ungünstigsten Fall bei n Elementen im Feld A statt?
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