Rekursion II

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Inhaltsverzeichnis 1 Quadratpflanze 2 Fraktale 3 Sierpinski-Dreieck 4 Koch-Schneeflocke

Quadratpflanze

Die Bilder zeigen die Entstehung einer Quadratpflanze.
Bei jedem neuen Aufruf beträgt die Seitenlänge jeweils nur noch ein Drittel der vorherigen.
Weitere Informationen unter [1].

• Finde in der "Quadratpflanze" die einfachere in der komplizierteren wieder.
  • Formuliere also die "grundlegenden Gedanken" für das Zeichnen der Pflanze.
  • Nach welcher Rekursionsvorschrift werden "Quadratpflanzen" erzeugt?
• Zeichne den nächsten (vierten) Schritt in der Entwicklung.
• Analog zum Baum soll eine "Quadratpflanze" mit der Turtle gezeichnet werden.
  

procedure pflanze(l:real;n:integer); begin if n>1 then begin turtle_forward(l); turtle_left(90); pflanze(l/3,n-1); turtle_right(90); pflanze(l/3,n-1); turtle_right(90); pflanze(l/3,n-1); turtle_left(90); turtle_forward(l); end else begin turtle_forward(l); end; end;

selectCanvas(1); canvas_clear(); // Zeichenfläche löschen turtle_move(300,300); //Turtle in Mitte turtle_right(90); pflanze(200,3);

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Fraktale

Mit selbstähnlichen Figuren bzw. Objekten beschäftigt sich heute ein ganzes Teilgebiet der Mathematik, die fraktale Geometrie. Ihre Untersuchungsergebnisse reichen in die Funktions- und Berechnbarkeitstheorie hinein und haben einen wesentlichen Einfluss auf die Chaosforschung komplexer dynamischer Systeme.

Der Begriff Fraktal (lat. fractus "gebrochen") geht auf den französisch-US-amerikanischen Mathematiker Benoît Mandelbrot (* 20. November 1924; † 14. Oktober 2010) zurück. Mit ihm werden natürliche oder künstliche Gebilde bzw. geometrische Muster bezeichnet, die einen hohen Grad an Selbstähnlichkeiten aufweisen.

Klassische selbstähnliche oder fraktale Figuren sind das Sierpinski-Dreieck und die Koch-Schneeflocke:

Beschreibe beide Fraktale verbal und versuche sie, mit der Turtle-Grafik zu implementieren.

Hinweis: Zur Implementation fraktaler Figuren stehen Dir die Sprachelemente der Turtle-Grafik zur Verfügung.

Sierpinski-Dreieck

Diese selbstähnliche Figur ist nach dem polnischen Mathematiker Wacław Franciszek Sierpiński (* 14. März 1882; † 21. Oktober 1969) benannt. Die nachfolgende Abbildung zeigt die Konstruktion dieses Dreiecks: (interessantes zur Anwendung auch unter [2])

procedure Sierpinski(l: real; t: Integer); begin if t > 1 then begin sierpinski(l/2, t-1); turtle_forward(l/2); sierpinski(l/2, t-1); turtle_left(60); turtle_backward(l/2); turtle_right(60); sierpinski(l/2, t-1); turtle_right(60); turtle_backward(l/2); turtle_left(60); end else begin turtle_forward(l); turtle_right(120); turtle_forward(l); turtle_right(120); turtle_forward(l); turtle_right(120); end; end;

selectCanvas(2); canvas_clear(); // Zeichenfläche löschen turtle_move(300,350); sierpinski(300,1);

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Koch-Schneeflocke

Der schwedische Mathematiker Helge von Koch (* 25. Januar 1870; † 11. März 1924) stellte im Jahr 1904 einen stetigen Graphen vor, der an keiner Stelle differenzierbar ist. Die sogenannte Koch-Schneeflocke setzt sich aus drei dieser Koch-Kurven zusammen, die auf den Seiten eines gleichseitigen Dreiecks angeordnet sind:

analog zu obigem Beispiel selbstständig implementieren

selectCanvas(3); canvas_clear(); // Zeichenfläche löschen turtle_move(300,350);

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