Wiederholung: Datentypen und Programmstrukturen

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An einfachen Problemstellungen wollen wir ausgewählte Datentypen und Programmstrukturen in JavaScript wiederholen.

function runden(x, n) { return Math.round(x * Math.pow(10, n)) / Math.pow(10, n); } function intKorrekt(z, min, max) { var korrekt = false; var i = min; do { korrekt = (z == i); i++; } while (i <= max && !korrekt); return korrekt; }

Inhaltsverzeichnis 1 Fakultät einer natürlichen Zahl 2 Das Heron-Verfahren 3 Die Fibonaccizahlen 4 Zufallszahlen 5 Zufallsexperimente 5.1 Werfen einer Münze 5.2 Würfeln mit einem Würfel 5.3 Würfeln mit zwei Würfeln 6 Widerstandsnetzwerk

Fakultät einer natürlichen Zahl

Die Fakultät einer natürlichen Zahl berechnet sich aus:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n$

Implementiere diese Bildungsvorschrift mit einer Funktion und teste diese mit (kleinen) Argumenten.

function fakultaet(n) { var produkt = 1; // -- weitere Anweisungen -- return produkt; }

fakultaet(6);

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Das Heron-Verfahren

Das Heron-Verfahren ist ein Näherungsverfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel einer beliebigen positiven reellen Zahl $z$. Aus einem beliebigen Startwert $x$ ergibt sich aus der nachfolgenden Gleichung mit $x_0$ ein erster Näherungswert für $\sqrt{z}$:

$x_0 = \frac{x + \frac{z}{x}}{2}$

Wird $x_0$ als neuer Startwert in diese Gleichung eingsetzt, erhält man einen besseren Näherungswert.
Durch mehrfaches Anwenden dieses Verfahrens kann der Wert von $\sqrt{z}$ mit beliebiger Genauigkeit angenähert werden.
Vervollständige dazu die entsprechende Funktion.

function heron(z, x) { var x0 = x; // -- weitere Anweisungen -- return x0; }

heron(2, 1);

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Die Fibonaccizahlen

Einer der bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters, Leonardo Fibonacci di Pisa (* um 1180; † 1241), beschrieb die Fortpflanzung von Kaninchen mit der Zahlenfolge: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...$ Definition: $\mbox{fibo}(n)=\begin{cases}1,\mbox{wenn}\hspace{0.3em}n=1\\1,\mbox{wenn}\hspace{0.3em}n=2\\\mbox{fibo}(n-1)+\mbox{fibo}(n-2),\mbox{sonst}\end{cases}$ Beschreibung: Die ersten beiden Glieder der Zahlenfolge sind jeweils 1. Jedes weitere Glied ergibt sich aus der Summe seiner beiden Vorgänger. Eine allgemeine Formel zur Berechnung der n-ten Fibonaccizahl wurde unabhängig voneinander von den französischen Mathematikern Abraham de Moivre (* 26. Mai 1667; † 27. November 1754) erst im Jahr 1718 und Jacques Philippe Marie Binet (* 2. Februar 1786; † 12. Mai 1856) sogar erst im Jahr 1843 entdeckt.

Berechnung der "Kaninchenaufgabe" mit der Fibonacci-Folge

Ergänze die nachfolgende Funktion und teste sie mit kleinen Argumenten.

function fibo(n) { var f1 = 1, f2 = 1; var f; // -- weitere Anweisungen -- return f2; }

fibo(6);

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Zufallszahlen

Mit den nachfolgenden Funktionen lassen sich beliebige Zufallszahlen ereugen:

Math.random() ... erzeugt eine (rationale) Zufallszahl $z$ im Intervall $0 \le z < 1$
Math.floor(z) ... rundet die Zahl $z$ auf die nächstniedrigere ganze Zahl ab

Experimentiere mit diesen Funktionen, so dass große ganze Zufallszahlen generiert werden.

Math.floor(Math.random() * 10);

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Vervollständige nun die nachfolgende Funktion, mit der das Werfen eines Würfels simuliert werden soll.

function wuerfelzahl() { var w; return w; }

function wurfKorrekt(maxAnz) { var z = [], i = 1; var w; var korrekt = false; do { w = wuerfelzahl(); korrekt = intKorrekt(w, 1, 6); if (korrekt) z[w - 1]++; i++; } while (korrekt && i < maxAnz); return (korrekt && z.length == 6); }

wuerfelzahl();

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Zufallsexperimente

Werfen einer Münze

Simuliere mit der nachfolgenden Prozedur das Werfen einer Münze. Dabei soll ausgegeben werden, wie oft Kopf und Zahl gefallen sind.

function muenzwurf(anz) { var kopf = 0, zahl = 0; // -- weitere Anweisungen -- return "Kopf: " + kopf + " / " + "Zahl: " + zahl; }

muenzwurf(100);

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Würfeln mit einem Würfel

Wie oft muss im Mittel ein Würfel geworfen werden, bis nacheinander zwei Sechsen gefallen sind?

function wuerfeln1() { var w1 = 0, w2 = 0, z = 0; // -- weitere Anweisungen -- return z; } function wuerfelexperiment1(anz) { var z = 0, mw = 0; // -- weitere Anweisungen -- return mw; }

wuerfelexperiment1(100);

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Würfeln mit zwei Würfeln

Wie oft müssen im Mittel zwei Würfel geworfen werden, bis beide Augenzahlen gleich sind?

function wuerfeln2() { var w1 = 0, w2 = 0, z = 0; // -- weitere Anweisungen -- return z; } function wuerfelexperiment2(anz) { var z = 0, mw = 0; // -- weitere Anweisungen -- return mw; }

wuerfelexperiment2(100);

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Widerstandsnetzwerk

function grenzwert(r) { return (Math.sqrt(5) + 1) / 2 * r; }

Zunächst besteht eine einfache elektrische Grundschaltung aus 2 gleichgroßen Widerständen. Durch Anhängen weiterer dieser Grundschaltungen entsteht daraus ein komplexes Widerstandsnetzwerk:

Entwickle eine Funktion, die den Gesamtwiderstand zwischen den Anschlussklemmen und berechnet, wenn Grundschaltungen zu diesem Widerstandsnetzwerk zusammengesetzt wurden.

function widerstand(r, n) { var r_ges = 2 * r; // -- weitere Anweisungen -- return r_ges; }

widerstand(100, 10);

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