Die Punktladung im inhomogenen elektrischen Feld
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Autoren: Jessica Schulze; Veit Berger (2014)
Grundlagen
Eine kleine Probeladung führt im inhomgenen elektrischen Feld einer ortsfesten Punktladung eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung aus. Diese Bewegung soll für ungleichnamige Ladungen simuliert werden (s. Abbildung). Dazu zerlegen wir den Abstand $r$ beider Punktladungen in kleine Teilabstände $\Delta r$. Wir nehmen nun an, dass innerhalb jedes Teilabstandes eine annähernd gleichmäßig beschleunigte Teilbewegung erfolgt. Für den Geschwindigkeitszuwachs in jedem Teilabstand gilt deshalb:
$ \begin{eqnarray*} v = \sqrt{2 \, a \, \Delta r + v_0^2} \end{eqnarray*} $
Die Beschleunigung ergibt sich aus dem Coulombschen Gesetz bzw. dem Newtonschen Grundgesetz:
$ \begin{eqnarray*} F &=& \frac{1}{4 \, \pi \, \epsilon_0} \cdot \frac{Q \cdot q}{r^2} \\ a &=& \frac{F}{m} \end{eqnarray*} $
Weitere Kräfte (Gewichtskraft, Reibungskraft) sollen unberücksichtigt bleiben.
Implementation
Um realistische Ladungen $Q$ und $q$ zu erhalten, nehmen wir in unserer Simulation an, dass beide Punktladungen durch ihre Radien sowie die entsprechende Ladespannung festgelegt werden. Die Ladungen $Q$ und $q$ werden dann aus diesen Angaben berechnet.
Die nachfolgende Simulation ermittelt nun die Zeit und die Endgeschwindigkeit, mit denen die Probeladung $q$ auf der Oberfläche der ortsfesten Ladung $Q$ auftrifft.
Verifikation
Es ist recht schwierig, die ungleichmäßig beschleunigte Bewegung der Probeladung analytisch mit einer Bewegungsgleichung zu beschreiben. Trotzdem können wir unsere Simulation überprüfen (verifizieren), indem wir die Endgeschwindigkeit unter Anwendung des Energieerhaltungssatzes berechnen.
Für die potenzielle Energie im elektrischen Radialfeld gilt:
$ \begin{eqnarray*} E_{pot} &=& \int \limits_{\infty}^{r} F(s) \, ds \\ E_{pot} &=& \int \limits_{\infty}^{r} \frac{1}{4 \, \pi \, \epsilon_0} \cdot \frac{Q \cdot q}{s^2} \, ds \\ E_{pot} &=& - \frac{1}{4 \, \pi \, \epsilon_0} \cdot \frac{Q \cdot q}{r} \end{eqnarray*} $
Eine ungleichnamig geladene Probeladung soll im Abstand $r$ die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ besitzen.
Wir berechnen nun die Endgeschwindigeit, die sie im Abstand $r_{end}$ mit $r_{end} < r$ besitzt.
Aus dem Energieerhaltungssatz folgt:
$ \begin{eqnarray*} \Delta E_{pot} &=& \Delta E_{kin} \\ - \frac{Q \cdot q}{4 \, \pi \, \epsilon_0} \cdot (\frac{1}{r_{end}} - \frac{1}{r}) &=& \frac{m_P}{2} \cdot (v_{end}^2 - v_0^2) \\ v_{end} &=& \sqrt{\frac{|Q \cdot q|}{2 \, \pi \, \epsilon_0 \, m_P} \cdot (\frac{1}{r_{end}} - \frac{1}{r}) + v_0^2} \end{eqnarray*} $
Da die Ladungen ungleichnamig sein sollen, muss in dieser Herleitung gelten: $Q \cdot q < 0$. Zur Vereinfachung haben wir aber bereits in der Simulation den Betrag des Produktes beider Ladungen gebildet.
Der Abstand $r_{end}$ entspricht der Summe der Radien der beiden Punktladungen.
Wir stellen fest: Es gibt eine recht gute Übereinstimmung der Ergebnisse aus der Simulation und der Anwendung des Energieerhaltungssatzes.
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