uebung1
Aus ProgrammingWiki
Inhaltsverzeichnis |
Übungsaufgaben - Indirekter Beweis
Aufgabe 1
Beweisen Sie indirekt, dass eine gerade Zahl ist, wenn
mit
eine gerade Zahl ist.
Wenn-Dann-Form:
Wenn eine gerade Zahl ist, dann ist
eine gerade Zahl.
Anders geschrieben: Wenn
, dann
.
Annahme: ist ungerade (
bleibt gerade)
, mit
, Subst:
ungerade
Widerspruch
.
Aufgabe 2
Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen und
die Gultigkeiten von
und
folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Wahrheitstabelle dar.
| A | B | C | | | | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Aufgabe 3
Was kann man über die Gültigkeit von und
schließen, wenn bekannt ist, dass
und
gelten?
Verwenden Sie die Tabelle aus der vorhergehenden Aufgabenlösung.
Die Aussagen treffen in der ersten Zeile der Wahrheitstabelle zu. und
gelten nicht, also muss
und
gelten. (nicht sicher! Aussage überprüfen)
Übungsaufgaben - Vollständige Induktion
Aufgabe 1
Beweisen Sie die folgenden Beziehungen fur Fibonacci-Zahlen nach Defintion in obigem Beispiel mittels vollständiger Induktion:
und
für
und
Beziehungen aus dem anderen Beispiel:
, mit
Induktionsanfang:
Wenn-Dann-Form:
Wenn ,
Dann
kurze Umstellung:
Ende der Umstellung
Übungsaufgaben - Grundbegriffe
Aufgabe 1
Die im Folgenden definierte Funktion ist an der Stelle
undefiniert. Hierfür verwenden wir das Symbol
.
Schreiben Sie ein Programm, das berechnet.
Aufgabe 2
Geben Sie sich einige Definitionsbeispiele selbstgewählter Funktionen vor. Achten Sie darauf, dass es sich auch um (echte) partielle Funktionen handeln kann. Außerdem sollten Sie einige abschnittsweise definierte Funktionen, z.B. Briefporto, Zuzahlungen für Medikamente usw., aufnehmen.
Aufgabe 3
Wiederholen Sie die folgenden Eigenschaften von Funktionen:
injektiv, surjektiv und bijektiv.
Geben Sie aussagekräftige Beispiele an. Skizzieren Sie folgende Funktionen mittels Abbildungspfeilen aus X in Y : injektiv und surjektiv; injektiv, nicht surjektiv; nicht injektiv, surjektiv; nicht injektiv, nicht surjektiv.
Aufgabe 4
Entwerfen Sie ein Aufbauschema zur systematischen Erzeugung aller Elemente aus $\mathcal{P}(M)$ für eine gegebene endliche Menge M und wenden Sie es auf einige selbstgewählte Beispiele an.
Aufbauschema:
- leere Menge aufnehmen
- ein Element der Grundmenge nehmen und jedem Element der vorher gebildeten Menge hinzufügen (bis alle Elemente der Grundmenge verbraucht sind)
$M=\{a,b,c\}$
$\wp=\{\emptyset\}$
$\wp=\{\emptyset,\{b\}\}$
$\wp=\{\emptyset,\{b\}, \{c\}, \{bc\}\}$
$\wp=\{\emptyset,\{b\}, \{c\}, \{bc\}, \{a\}, \{ba\}, \{ca\}, \{bca\}\}$
