BuK-Übung01
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Indirekter Beweis
Aufgabe 1
Beweisen Sie indirekt, dass $x$ eine gerade Zahl ist, wenn $x^2$ mit $x\in{\mathbb N}$ eine gerade Zahl ist.
Lösung:
zu zeigen: Wenn $x^2$ gerade, dann $x$ gerade (Wenn $2 \mid x^2$, dann $2 \mid x$).
Beispiele: $2^2 = 4$ (gerade), $4^2 = 16$ (gerade), $3^2 = 9$ (ungerade)
Annahme: Wenn $2 \mid x^2$, dann $2 \nmid x$.
Beweis:
$x \text{ ungerade: } 2k+1\text{, } k \in \N $
$x^2 \text{gerade: } 2z \text{, } z \in \N$
$\Rightarrow (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 \Rightarrow = ungerade, da +1$
$\Rightarrow \unicode{x021AF}$ Widerspruch, da $x^2$ gleichzeitig gerade und ungerade wäre.
Aufgabe 2
Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen $A \Rightarrow B$, $B \Rightarrow C$ und $\overline{C}$ die Gültigkeiten von $\overline{A}$ und $\overline{B}$ folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Wahrheitstabelle dar.
Lösung:
Zeile | $A$ | $B$ | $C$ | $\overline{A}$ | $\overline{B}$ | $\overline{C}$ | $A \Rightarrow B$ | $B \Rightarrow C$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | W | W | W | F | F | F | W | W |
2 | W | W | F | F | F | W | W | F |
3 | W | F | W | F | W | F | F | W |
4 | W | F | F | F | W | W | F | W |
5 | F | W | W | W | F | F | W | W |
6 | F | W | F | W | F | W | W | F |
7 | F | F | W | W | W | F | W | W |
8 | F | F | F | W | W | W | W | W |
Nur in Zeile 8 folgen aus der Gültigkeit der Aussagen $A \Rightarrow B$, $B \Rightarrow C$ und $\overline{C}$ die Gültigkeiten von $\overline{A}$ und
$\overline{B}$, also wenn $A$, $B$ und $C$ nicht gelten.
Zeile | $\overline{A}$ | $\overline{B}$ | $\overline{C}$ | $A \Rightarrow B$ | $B \Rightarrow C$ |
---|---|---|---|---|---|
8 | W | W | W | W | W |
Aufgabe 3
Was kann man über die Gültigkeit von A und B schließen, wenn bekannt ist, dass $A \Rightarrow B$, $B \Rightarrow C$ und $C$ gelten? Verwenden Sie die Tabelle aus der vorhergehenden Aufgabenlösung.
Lösung:
Laut den Zeilen 1, 5 und 7 aus der obigen Tabelle folgt, dass, wenn bekannt ist, dass $A \Rightarrow B$, $B \Rightarrow C$ und $C$ gelten, $A$ und $B$ entweder beide gelten, beide nicht gelten oder nur $B$, aber nicht $A$ gilt.
Zeile | $A$ | $B$ | $C$ | $A \Rightarrow B$ | $B \Rightarrow C$ |
---|---|---|---|---|---|
1 | W | W | W | W | W |
5 | F | W | W | W | W |
7 | F | F | W | W | W |
Vollständige Induktion
Beweisen Sie die folgenden Beziehungen für Fibonacci-Zahlen nach Definition in obigem Beispiel mittels vollständiger Induktion für $ n \in \N$ und $n \geq 1$
Aufgabe 1
$$ \sum\limits_{k=1}^{n} F_{k} = F_{n+2} - 1$$
Induktionsanfang (IA):
z.z. Für n = 1 gilt:
$F_{1}$ = $F_{1+2}-1$
$F_{1}$ = $F_{3}-1$ ($F_{3}$ = 2)
1 = 2-1
1 = 1 $\Rightarrow$ OK
Induktionsschritt (IS):
Wenn $ \sum\limits_{k=1}^{i} F_{k} = F_{i+2} - 1$ (Induktionsvoraussetzung, kurz IV),
dann gilt auch: $ \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{k} = F_{i+3} - 1$ (Induktionsbehauptung, kurz IB).
$ \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{k} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{k} + F_{i+1}$ $\quad \stackrel{IV}{=}$ $ F_{i+2} -1 + F_{i+1}$ $ = F_{i+3} - 1$ (Ergebnis = IB)
Aufgabe 2
$$ \sum\limits_{k=1}^{n} F_{2k} = F_{2n+1} - 1$$
IA:
Für $n = 1$ ergibt sich:
$ F_2 = F_{2*1+1} - 1$
$ F_2 = F_{3} - 1$
$ 1 = 2 - 1 $
$ 1 = 1 \Rightarrow OK $
IS:
Wenn $ \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k} = F_{2i+1} - 1$ (IV), dann gilt auch:
$ \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k} = F_{2(i+1)+1} - 1 = F_{2i+3} -1$ (IB)
$ \sum\limits_{k=1}^{i+1} F_{2k} = \sum\limits_{k=1}^{i} F_{2k} + F_{2(i+1)} \quad \stackrel{IV}{=} \quad F_{2i+1} - 1 + F_{2i+2} \quad = \quad F_{2n+3} - 1 $
Aufgabe 3
$$ \sum\limits_{k=1}^{n} F_{2k-1} = F_{2n}$$
Wenn $\sum\limits_{k=1}^{n} F_{2k-1} = F_{2n}$,
dann gilt auch $\sum\limits_{k=1}^{n+1} F_{2k-1} = F_{2n+2}$
Für $ n = 1$:
$ \sum\limits_{k=1}^{1} F_{2k-1} = F_{2}$
$ 1 = 1 \Rightarrow OK$
IS:
$ \sum\limits_{k=1}^{n+1} F_{2k-1} = \sum\limits_{k=1}^{n} F_{2k-1} + F_{2(n+1)-1}$
$ \Rightarrow F_{2n} + F_{2n+1}$
$ \Rightarrow F_{2n+2}$
Relation
Wiederholen Sie die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen und geben Sie ein Beispiel an.
Eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge restlos in nichtleere und disjunkte (elementfremde) Untermengen, Äquivalenzklassen genannt.
Sie besitzt dabei folgende eigenschaften:
- Reflexivität: $a\sim a$
- Jedes Objekt ist zu sich selbst äquivalent.
- Symmetrie: $a\sim b \ \Rightarrow\ b\sim a$
- Wenn a zu b äquivalent ist, dann ist auch b äquivalent zu a (und umgekehrt).
- Transitivität: $a\sim b\ \mathrm{und}\ b\sim c\ \Rightarrow\ a\sim c$
- Wenn a zu b äquivalent und b zu c äquivalent ist, dann ist a äquivalent zu c.
Beispiel für eine Äquivalenzrelation
Der Fahrplan für Straßenbahnen in einer Stadt.
- reflexiv:
- Von Haltestelle A kommt man zu Haltestelle A. (Weil man schon da ist)
- symmetrisch:
- Wenn man von Haltestelle A zu Haltestelle B kommt, dann kommt man auch von Haltestelle B zu Haltestelle A. (Es gibt praktisch eine Verbindung in beide Richtungen)
- transitiv:
- Wenn man von Haltestelle A zu Haltestelle B kommt und wenn man von Haltestelle B zu Haltestelle C kommt, dann kann man sagen, dass man von Haltestelle A zu Haltestelle C kommt.
Funktionen
Übungsaufgabe partielle Funktion
Die im Folg. definierte Funktion $q : \R \mapsto \R$ ist an der Stelle $x=3$ undefiniert. Hierfür verwenden wir das Symbol $\bot$.
$$q(x)=\begin{cases} \dfrac{35}{x-3}, & \text{wenn }x \neq 3\text{;}\\ \bot, & \text{sonst.} \end{cases} $$
Schreiben Sie ein Programm, das $q$ berechnet.
Aufgabe 2
Geben Sie sich einige Definitionsbeispiele selbstgewählter Funktionen vor. Achten Sie darauf, dass es sich auch um (echte) partielle Funktionen handeln kann. Außerdem sollten Sie einige abschnittsweise definierte Funktionen, z.Z. Zuzahlungen für Medikamente usw., aufnehmen.
Beispiele:
Kosten für Infopost
$$q(x)=\begin{cases} (x-20) * 0.352 + 28, & \text{wenn }0 < x \leq 20\text{;}\\ (x-20) * 0.352 + 36, & \text{wenn }20 < x \leq 100\text{;}\\ (x-20) * 0.352 + 73, & \text{wenn }100 < x \leq 1000\text{;}\\ \bot, & \text{sonst.} \end{cases} $$
Aufgabe 3
Wiederholen Sie die folgenden Eigenschaften von Funktionen: injektiv, surjektiv und bijektiv. Geben Sie aussagekräftige Beispiele an. Skizzieren Sie folgende Funktionen mittels Abbildungspfeilen aus X in Y : injektiv und surjektiv; injektiv, nicht surjektiv; nicht injektiv, surjektiv; nicht injektiv, nicht surjektiv.
Erklärung
Eigenschaft | Beschreibung | Beispiele |
---|---|---|
injektiv | Jedes Element aus Y hat höchstens einen Partner in X | $ \N \Rightarrow \N, x \rightarrow x^2 $ |
surjektiv | Jedes Element aus Y hat mindestens einen Partner in X | $ \R \Rightarrow \R_{+}, x \rightarrow x^2 $ |
bijektiv | Jedes Element aus Y hat genau einen Partner in X (muss injektiv und surjektiv sein) | $ \R_{+} \Rightarrow \R_{+}, x \rightarrow x^2 $ |
Bildliche Darstellung
Funktion $X \Rightarrow Y$ | Darstellung |
---|---|
injektiv,surjektiv | |
injektiv,nicht surjektiv | |
nicht injektiv,surjektiv | |
nicht injektiv,nicht surjektiv |
Mengen
Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass die Menge $\Z$ eine abzählbar unendliche Menge ist und setzen Sie sich mit der Aussage auseinander, wonach doch $\Z$ eigentlich doppelt so viele Elemente besitzt, wie $\N$.
Definition von Abzählbarkeit:
In der Mengenlehre wird eine Menge als abzählbar unendlich bezeichnet, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen. Dies bedeutet, dass es eine Bijektion zwischen und der Menge der natürlichen Zahlen gibt, die Menge also „durchnummeriert“ werden kann.
$\Z$ = {... -5, -4, -3, -2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Die Menge dieser Zahlen kann nun bei 0 gespiegelt werden, wobei die negative Zahl beispielsweise jeweils vor ihrem Betrag eingeordnet wird. Die Menge der Zahlen wird dabei nicht verändert.
$\Z$ = {0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -5, 5, ...}
Da die umsortierte Menge nun bei 0 beginnt (ein definiertes erstes Element hat), kann jedem Element ein Index zugewiesen werden, wodurch $\Z$ auf $\N$ abgebildet wird, und damit bewiesen dass es sich um eine abzählbar unendliche Menge handelt.
Funktion:
$$f(z)=\begin{cases} 2z, & \text{wenn }z \ge 0 \text{;}\\ 2z-1, & \text{sonst.} \end{cases} $$
Scheme-Prozedur:
Aufgabe 2 (Potenzmenge)
Entwerfen Sie ein Aufbauschema zur systematischen Erzeugung aller Elemente aus $\wp(M)$ für eine gegebene endliche Menge $M$ und wenden Sie es auf einige selbstgewählte Beispiele an.
Potenzmenge, ist die Menge aller Teilmengen. $ P(X) = \{U | U \subset X\} $
Sie besitzt $2^n$ Elemente.
Aufbauschema 1
- Leere Menge aufnehmen
- Nimm ein Element aus der Menge und füge es jedem Element der vorher gebildeten Menge Hinzu und übernimm die vorher gebildetetn Elemente
Beispiel für $ \wp(\{a,b,c\}) $
$ \wp(\{\})=\{\{\emptyset\}\} $
$ \wp(\{c\})=\{\{\emptyset\},\{c\}\} $
$ \wp(\{b,c\})=\{\{\emptyset\},\{c\},\{b\},\{b,c\}\} $
$ \wp(\{a,b,c\})=\{\{\emptyset\},\{c\},\{b\},\{b,c\},\{a\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,b,c\}\} $
Binärcode, wobei jedes Bit für ein Element aus der Menge M steht.
Beispiel $M = {a, b, c}$
$a$ | $b$ | $c$ | $\wp (M)$ |
---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | $\{\varnothing \}$ |
0 | 0 | 1 | $\{ c\}$ |
0 | 1 | 0 | $\{ b\}$ |
0 | 1 | 1 | $\{bc\}$ |
1 | 0 | 0 | $\{a\}$ |
1 | 0 | 1 | $\{ac\}$ |
1 | 1 | 0 | $\{ab\}$ |
1 | 1 | 1 | $\{abc\}$ |
$\wp (M) = \{\varnothing, c, b, bc, a, ac, ab, abc\}$