BuK-Kreativaufgabe10 G2

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(define add1 (lambda (n) (+ n 1))) (define sub1 (lambda (n) (- n 1))) (define P (lambda (n) (if (= n 0) 0 (sub1 n))))

Aufgabenstellung

Entwickeln Sie einen Werkzeugkasten für primitiv rekursive Funktionen. Es wird erwartet, dass aus primitiv rekursiven (Basis-)Funktionen unter Verwendung der Kompositionstechniken (Substitution und primitive Rekursion) neue primitiv rekursive Funktionen generiert werden. Diese sollen verwendbar sein. Es wird nicht erwartet, dass ein universelles Beweisprogramm, das für eine gegebene Funktion konstruktiv nachweist, dass sie primitiv rekursiv ist, entwickelt wird.

Basisfunktionen

Zuerst definieren wir die Basisfunktionen.

(define S (lambda (n) (add1 n))) (define C0 (lambda n 0)) (define U (lambda (i . n) (letrec ([helper (lambda (counter args) (if (= counter i) (car args) (helper (+ counter 1) (cdr args))))]) (helper 1 n)))) (define U1 (lambda args (apply U (cons 1 args)))) (define U2 (lambda args (apply U (cons 2 args))))

Die Nullfunktion kann mit beliebig vielen Parametern aufgerufen werden.

(C0)

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(C0 1 2 3 4)

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Die Projektionsfunktion erwartet als ersten Parameter den Inde des zu ermittelnden Arguments und anschließend eine variable Anzahl von Argumenten.

(U 1 1 2 3)

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(U 3 1 2 3)

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Um spätere Beispiele einfacher zu gestalten, ist die Nutzung der konstanten Funktionen sinnvoll.

(define C (lambda (q . n) (letrec ([helper (lambda (counter result) (if (= counter q) result (helper (+ counter 1) (S result))))]) (helper 0 (C0 (U 1 n))))))

Als nächstes definieren wir die Substitution und die primitive Rekursion:

(define my-apply (lambda (ls) (apply (car ls) (cdr ls)))) (define substitute (lambda (f . g) (lambda n (apply f (map my-apply (map (lambda (g_i) (cons g_i n)) g)))))) (define prim-rec (lambda (f g) (lambda ni (letrec ([h (lambda (n1 rest) (if (= 0 n1) (f rest) (g n1 (h (P n1) rest) rest) ))]) (h (car ni) (cdr ni))))))

An Hand einiger Beispiele kann die Funktionsweise der beiden Prozeduren nachvollzogen werden. Als erstes betrachten wir die Potenzierung. Die beiden benötigten Prozeduren und werden wie folgt definiert:

(define pot-f (lambda (a) (C 1 a))) (define pot-g (lambda (n h . args) (let ((x n) (a (caar args))) (mult (U 3 (P x) h a) (U 2 (P x) h a)))))

Um nun aus diesen beiden Prozeduren die Potenzfunktion zu generieren wird die primitive Rekursion angewandt:

(define pot-x-a (prim-rec pot-f pot-g))

(pot-x-a 2 5)

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Möchte man lieber die Basis als erstes und die Potenz als zweites Argument übergeben, so kann durch Substitution eine Vertauschung der Parameter vorgenommen werden:

(define pot (substitute pot-x-a (lambda x-y (apply U2 x-y)) (lambda x-y (apply U1 x-y))))

(pot 5 2)

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Ein weiteres Beispiel ist die Fakultätsfunktion:

(define fak-f (lambda args (C 1 args))) (define fak-g (lamda (n h . args) (mult n h))) (define fak (prim-rec fak-f fak-g))

(fak 5)

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Monusfunktion:

(define monus-f (lambda (x) (apply U1 x))) (define monus-g (lambda (n h . args) (P h))) (define monus-y-x (prim-rec monus-f monus-g)) (define monus (substitute monus-y-x (lambda x-y (apply U2 x-y)) (lambda x-y (apply U1 x-y))))

(monus 1 3)

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(monus 3 3)

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(monus 5 2)

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Abstandsfunktion:

(define dist (substitute add monus monus-y-x))

(dist 3 3)

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(dist 1 3)

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(dist 10 5)

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Signumfunktion:

(define signum-f (lambda args (C 0 args))) (define signum-g (lambda (n h . args) (C 1 args))) (define signum (prim-rec signum-f signum-g))

(signum 0)

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(signum 3)

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