Python-Das Geburtstagsparadoxon

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Inhaltsverzeichnis 1 Problem 1 1.1 Simulation 1.2 Mehrfachsimulation 1.3 Wahrscheinlichkeit 2 Problem 2 2.1 Simulation 2.2 Mehrfachsimulation 3 Problem 3 3.1 Simulation 3.2 Mehrfachsimulation 4 Literatur

Problem 1

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter $N$ Personen zwei am gleichen Tag Geburtstag haben?

Simulation

from random import * def simulation1(n): z = 0 ls = [randint(1, 365) for i in range(n)] for i in range(n - 1): for j in range(i + 1, n): if ls[i] == ls[j]: z = 1; return z return z

print(simulation1(10))

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Mehrfachsimulation

def experiment1(n, m): z = 0 for i in range(n): z += simulation1(m) return z / n

print(experiment1(10000, 23))

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Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter $N$ Personen zwei am gleichen Tag Geburtstag haben, berechnet sich mit:

$p(n) = 1 - \dfrac{365 \cdot 364 \cdot \hspace{0.3em} ... \hspace{0.3em} \cdot (365 - (n -1))}{365 ^ n}$

def produkt(von, bis): p = 1 while von <= bis: p *= von von += 1 return p def wahrscheinlichkeit1(n): return 1 - produkt(365 - (n - 1), 365) / (365 ** n)

print(wahrscheinlichkeit1(23))

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Problem 2

Wie viele Personen muss man im Mittel nach ihrem Geburtstag fragen, bis man einen Doppelgeburtstag erhält?

Simulation

def simulation2(): z = 1 ls = []; dat = randint(1, 365) while not (dat in ls): ls.append(dat) dat = randint(1, 365) z += 1 ls.append(dat) return z

print(simulation2())

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Mehrfachsimulation

def experiment2(n): z = 0 for i in range(n): z += simulation2() return z / n

print(experiment2(10000))

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Interessanterweise sind unter dieser Fragestellung im Mittel $25$ Personen notwendig.

Problem 3

Wie groß muss eine Gruppe von Personen sein, damit im Mittel mindestens ein Doppelgeburtstag auftritt?

Simulation

def simulation3(n): z = 0 ls = [randint(1, 365) for i in range(n)] while len(ls) > 0: z += 1 n = ls[0]; del ls[0] if n in ls: break return z

print(simulation3(50))

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Mehrfachsimulation

def experiment3(n, m): z = 0 for i in range(n): z += simulation3(m) return 1 - z / n / m

print(experiment3(10000, 29))

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Bei einer Personengruppe mit $N = 29$ Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit mindestens eines Doppelgeburtstages $50 \%$.

Literatur

• [1] F. Barth, R. Haller (2012): Besetzungen und Geburtstage, in: Stochastik in der Schule 32 (3), S. 20–27.
• [2] F. Barth, R. Haller (2013): Gemeinsame Geburtstage, in: Stochastik in der Schule 33 (1), S. 25–32