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Autoren:

Daniel Horbach (sidahorb@stud.hs-zigr.de)

Richard Hettmann (sirihett@stud.hs-zigr.de)


Inhaltsverzeichnis

Rucksackproblem


Das Rucksackproblem ist ein Optimierungsproblem der Kombinatorik. Aus einer Menge von Objekten, die jeweils ein Gewicht und einen Wert haben, soll eine Teilmenge ausgewählt werden, deren Gesamtgewicht eine vorgegebene Gewichtsschranke nicht überschreitet. Unter dieser Bedingung soll der Wert der ausgewählten Objekte maximiert werden. Zur Veranschaulichung dieses klassischen Problems wird auch gerne der Dieb herangezogen, der nur einen kleinen Teil der Beute im Rucksack abtransportieren kann und nun versucht, den größtmöglichen Wert herauszuschlagen.

Gegeben sei eine nichtleere Menge von Gegenständen, von denen jeder einen Wert und ein Gewicht hat. Da unser Rucksack nicht unbegrenzt belastbar ist, brauchen wir noch die Aufnahmekapazität , welche keinesfalls durch das aktuelle Gesamtgewicht überschritten werden darf.

Man unterscheidet diese zwei grundsätzlich veschiedenen Arten von Rucksackproblemen.


Bruchteilrucksackproblem

Ein beliebiger Teil eines jeden Gegenstandes darf eingepackt werden.

,


0/1 Rucksackproblem

Jeder einzelne Gegenstand wird entweder vollständig (1) oder gar nicht (0) in den Rucksack aufgenommen.

Wir befassen uns hier nur mit dem 0/1 Rucksackproblem, das Bruchteilrucksackproblem wird in einer der folgenden Vorlesungen näher erläutert.


Ziel

Unser Ziel ist das Erreichen der maximalen Wertsumme ohne die Aufnahmekapazität zu überschreiten.

, wobei , mit


Teilmengen-Summen-Problem

Das Teilmengen-Summen-Problem ist ein Spezialfall des Rucksackproblems. Aus einer Menge natürlicher Zahlen wird eine Teilmenge gesucht, deren Elementensumme möglichst nahe an die Kapazitätsgrenze herankommt und diese auch erreichen darf. Dieser Spezialfall ergibt sich immer dann, wenn Gewicht und Wert eines jeden Gegenstandes zahlenmäßig überein stimmen.

und

mit

Dieses Problem entsteht beispielsweise in Transportunternehmen, wenn in einem LKW, dessen Ladekapazität natürlich beschränkt ist, unterschiedliche Frachtgüter befördert werden sollen. Um die Transportkapazität optimal nutzen zu können, also das Fahrzeug nicht zu überlasten oder Transportkapazität zu vergeuden, ist eine sorgfältige Auswahl der Transportgüter nötig.


Intuitives Verfahren

Welche Möglichkeiten haben wir um das Rucksackproblem zu lösen? Natürlich könnte man den Rucksack mit zufällig ausgewählten Gegenständen füllen und danach den einen oder anderen Gegenstand austauschen bis man der Meinung ist man hat das globale Wertmaximum erreicht. Da dieses Verfahren aber weder systenmatisch noch zielführend ist, kann man sich dessen niemals sicher sein. Der bessere Weg ist die Benutzung von Suchstrategien, die dafür sorgen das sämtliche Packmöglichkeiten des Rucksacks erzeugt und anschließend bewertet werden. Mit zwei dieser Strategien werden wir uns näher beschäftigen, der Tiefensuche und der Breitensuche.


Die Graphentheorie


Bevor wir näher auf die Tiefesuche und Breitensuche eingehen, befassen wir uns ersteinmal mit der Graphentheorie. Bei der Graphentheorie handelt es sich um ein Teilgebiet der Mathematik, welches die Eigenschaften von Graphen und deren Beziehung zueinander untersucht. Die Graphentheorie ist in der Hinsicht für die Informatik von Bedeutung, da algorithmische Probleme auf Graphen zurückgeführt werden können.

Ein Graph ist eine Menge von Punkten, diese werden auch als Knoten oder Ecken bezeichnet. Diese Knoten und Ecken sind in der Regel durch Linien miteinander verbunden, diese Linien nennt man auch Kanten oder Bögen.

Graphendurchlauf.jpg

Vom Knoten 1, welcher der Startknoten ist, gehe ich zum Knoten 2 und von dort zum Knoten 4. Diese 3 Knoten werden der Prewalkliste hinzugefügt. Nach 2 erfolglosen Versuchen Knoten 4 zu expandieren, füge ich ihn auch der Central- und Postwalkliste hinzu. Da keine weitere Expansion erfolgen kann gehe ich mittles Backtracking zu Knoten 2 zurück, berühre ihn zum zweiten Mal und füge ihn der Centalwalkliste hinzu. Knoten 2 kann noch expandiert werden, so komme ich zu Knoten 5 , füge ihn der Prewalkliste, und nach zwei erfolglosen Expansionsversuchen auch der Central- und Postwalkliste hinzu. Ich gehe zurück zu Knoten 2 und nach dem Hinzufügen zur Postwalkliste gehe ich wieder auf den Knoten 1, welcher der nächste in der Centralwalkliste ist. Dasselbe mache ich auch mi dem rechten Teil des Graphen. Ist der Graph vollständig durchlaufen, erhalten ich meine vollständigen Durchlauflisten. Das kann man sich auch im Code-Beispiel unten nochmal genauer ansehen.


Tiefensuche


Die Depth-First-Search ist ein Verfahren zum Suchen eines Knotens in einem Graphen und gehört zu den uniformierten Suchalgorithmen. Expandiert wird der jeweils zuerst auftretende Nachfolgeknoten des Startknotens bis entweder das gesuchte Element gefunden wurde, oder keine weiteren Knoten für die Expansion vorhanden sind. In diesem Fall kehrt der Algorithmus zum zuletzt expandierten Knoten zurück und sucht einen alternativen Nachfolger. Sollte es keinen Nachfolger mehr geben, geht der Algorithmus Schritt für Schritt zum jeweiligen Vorgänger zurück und versucht es dort erneut, bis auf diese Weise entweder ein Ergebnis gefunden oder der komplette Graph einmal durchlaufen wurde.


Algorithmus

  1. Bestimmung des Startknotens
  2. Expandieren des ersten Knotens und speichern sämtlicher Nachfolger in einem Stack
  3. Rekursiver Aufruf der Tiefensuche für jeden Knoten im Stack
  4. Abbruch bei leerem Stack oder wenn das gesuchte Element gefunden wurde


Eigenschaften

Der Speicherplatzbedarf bei der Tiefensuche ist linear. Da im schlimmsten Fall alle möglichen Knoten betrachtet werden müssen lässt sich der Zeitaufwand durch beschreiben, wobei |V| für die Anzahl der Knoten und |E| für die Anzahl der Kanten steht. Bei einem unendlichen Graphen ist Tiefensuche nicht vollständig, es ist möglich das ein existierendes Ergebnis nicht gefunden wird. Betracht man die Optimalität trifft dies bei der Tiefensuche nicht zu, weil möglicherweise ein Ergebnis gefunden wird, welches tiefer im Graphen liegt als ein anderes und die Tiefensuche den Graphen erst komplett auf der linken Seite durchsucht.


Anwendung

Tiefensuche findet indirekt Anwendung bei vielen komplexen Algorithmen für Graphen, zum topologischen Sortieren und in Expertensystemen.


Aufbau des Suchbaumes

Bei der Tiefensuche ist der Baum von links aufgebaut und wird als eine Art Protokoll generiert. Da wir hier nur das 0/1 Rucksackproblem behandeln ist an jedem Knoten auch nur eine JA/NEIN Entscheidung möglich. Man spricht hier von einem dynamischen Baum, d.h. jeder Gegenstand wird eingepackt und am nächsten Knoten wird wieder anders entschieden als vorher. Das sogenannte Backtracking bedeutet das Zurückspuren zum letzten Entscheidungspunkt.Bei der Tiefensuche hat man einen aktuellen Rucksackinhalt, dieser wird beschrieben mit s-ls (). Eine Gegenstandsliste mit den Werten (30 50 10) diese wird mit g-ls beschrieben. Den aktuellen Packzustand des Rucksacks beschreiben wir durch (g-ls s-ls).


Rucksack1graph2.jpg


Berechnungen

Für n Gegenstände ergeben sich im allgemeinen Blätter.

, für z = 1

Hierdurch ergibt sich ein exponentieller Aufwand .

Die Anzahl der Knoten lässt sich durch folgende Formel berechnen: Knoten


Die rekursive Tiefensuche mit Scheme

Das folgende Beispiel hat keine Kapazitätsgrenze, wodurch wir alle möglichen Ergebnisse ausgegeben bekommen.

Die Werte sind hier keine Vorgabe, es können andere und mehr gewählt werden.


Breitensuche


Im Gegensatz zur Tiefensuche arbeitet die Breadth-First-Search den Baum schichtenweise ab und liefert uns somit alle möglichen Ergebnisse.

Bezogen auf das Rucksackproblem besitzt der Baum gerade soviel Äste wie sich aktuell Gegenstände in der Liste befinden.


Algorithmus

  1. Bestimmung des Startknotens und Speicherung dieses Knotens in einer Warteschlange
  2. Entnahme des ersten Knotens der Warteschlange und dessen Markierung
    Gefundenes Element = Abbruch nach durchsuchen der Ebene
    Anhängen aller bisher unmarkierten Nachfolger dieses Knotens an das Ende der Warteschlange
  3. Wiederholung von Schritt 2
  4. Abbruch bei leerer Warteschlange = Kein Ergebnis gefunden


Eigenschaften

Der Speicherplatzbedarf bei der Breitensuche ist exponentiell, da alle besuchten Knoten gespeichert werden. Der Zeitaufwand lässt sich wie bei der Tiefensuche durch beschreiben, auch hier müssen im schlimmsten Fall alle Knoten untersucht werden. Da der Graph gleichmäßig in der gesamten Breite untersucht wird, findet die Breitensuche den Knoten mit der optimalen Tiefe und auch alle anderen Ergebnisknoten.


Anwendung

Die Breitensuche findet Anwendung bei der Suche nach allen Zusammenhangskomponenten in einem Graphen, dem Suchen aller Knoten in der Zusammenhangskomponente,der Suche nach dem kürzesten Pfad zwischen zwei Knoten und dem Kürzeste-Kreise-Problem.


Aufbau des Breitensuchbaumes

Wie auch bei der Tiefensuche hat man hier eine Rucksackliste s-ls () und eine Gegenstandsliste g-ls hier beispielsweise mit (30,50,10). Beim Beginn der Suche ist die s-ls leer und die g-ls enthält die Gegenstände. Der erste Gegenstand wird entnommen und der Rest verbleibt in der Warteschlange. Es wird wieder ein neuer Knoten gebildet dieses wiederholt sich solange bis die g-ls leer ist.


BS Baum4.jpg


Berechnung

Die Anzahl der Knoten lässt sich durch folgende Formel berechnen.


Beschränkung des Breitensuchbaumes

Einige der Knoten sind überflüssig, da die Reihenfolge des Einpackens bei der Breitensuche keine Rolle spielt, beispielsweise beschreiben die Listen (30, 50, 10) und (30, 10, 50) denselben Packzustand. Wir reduzieren den Suchbaum um die Elemente mit gleicher Bedeutung.

BS Baum4.2.JPG


Beschränkte Tiefensuche


Durch das Setzen einer Kapazitätsgrenze lässt sich der Tiefensuchbaum beschränken. Nimmt man die g-ls mit folgendem Inhalt (30, 50, 10) und setzt die Kapazitätsgrenze auf (42), bekommt man nur noch die Werte die sind ausgegeben.


Es kann anstatt der 42 auch eine beliebige andere Kapazität gewählt werden. Auch hier können für die 30, 50 und 10 andere Werte gewählt werden.



Beschränkte Tiefensuche mit Ergebnisliste:

In diesem Codebeispiel wird nun auch die optimale Lösung angezeigt.


Eigenschaften

Wie auch bei dem nicht reduzierten Tiefensuchbaum ist der Speicherplatz linear. Der Zeitaufwand lässt sich ebenfalls durch berechnen. Optimalität und Vollständigkeit sind auch hier nicht gegeben.


Vergleich beider Suchstrategien


Stellt man die Suchstrategien einander gegenüber, so wird man feststellen das ja nach Suche beide ihre Vor- und Nachteile haben. Bei der Tiefensuche wird das Ergebnis schneller gefunden wenn sich dieses in der linken Baumhälfte befindet. Betrachtet man beide an einem endlichen Baum so kann man sehen das beide vollständig sind. Hinsichtlich des Speicheraufwandes ist die Breitensuche nicht gerade optimal da bei dieser der gesamte Graph gespeichert wird. Ein Vorteil der Breitensuche ist wiederrum das alle möglichen Ergebnisse gefunden werden. Bei der Tiefensuche hingegen wird nur der besuchte Pfad gespeichert und die zuerst gefundene Lösung ausgeben. Die beste Strategie ist somit eine Kombination aus Breiten- und Tiefensuche.


Iterative Tiefensuche


Die iterative Suche ist eine Kombination aus den wünschenswerten Eigenschaften von Breiten- und Tiefensuche, das heisst der lineare Speicherplatzverbrauch der Tiefensuche und die Optimalität der Breitensuche, im Bezug auf das finden aller Ergebnisse.


Algorithmus

  1. Bestimmung des Startknotens
  2. Aufruf von reduzierter Tiefensuche mit aktueller Suchtiefe
  3. Erhöhung der Suchtiefe um 1
  4. Wiederholung von Schritt 2


Eigenschaften

Der Speicherplatzbedarf ist linear. Die iterative Tiefensuche ist vollständig und optimal. Die Zeitsaufwandsberechnung erfolgt auch hier durch die Formel .


Das Damenproblem

Bei dem Damenproblem geht es darum das auf einem handelsüblichen Schachbrett mit 8*8 Feldern, acht Damen so positioniert werden das sich diese nicht gegenseitig schmeißen können. Das Problem wurde erstmals 1848 vom bayrischen Schachmeister Max Bezzel(1824-1871) betrachtet. 1850 fand Franz Nauck erstmals alle 92 Lösungen, wobei man hier sagen muss das nur 12 davon eindeutig sind.

Hier eine Tabelle für verschiedene .



Nichtdeterminismus


Bei der Baumdarstellung handelt es sich um eine strukturierte Darstellungsform des Suchprozesses. Die rekursive Baumstruktur kann unmittelbar auf die rekursive Programmstruktur abgebildet werden. Die Formulierung eines Suchziels von der Angabe des zugehörigen Suchprozesses zu entkoppeln führt zu einer deskriptiven Programmierung. Dies bedeutet das potenzielle Resultat so zu beschreiben das die Software selbst den Prozess zu dessen Bestimmung erzeugt. Den Wunsch das ein solches Programm den Pfad treffsicher erahnt falls er existiert führt uns zu einem nichtdeterministischem Algorithmus. Nichtdeterminismus beschreibt eine übernatürliche Fähigkeit das richtige vorherzusehen. Weder Mensch noch Maschine sind dazu in der Lage. Deshalb ist es sinnvoll Algorithmen zu betrachten.

Um mit einem nichtdeterministischen Algorithmus experimentieren zu können, müssen wir diesen implementieren. Wir laden hierfür die Datei ambiguos.ss in Scheme. Danach stehen uns 5 wichtige und erforderliche Sprachelemente zur Verfügung.

  • choice gibt aus einer Liste das "richtige Element" zurück
  • bag of gibt aus einer Liste eine Liste aller richtigen Elemente zurück
  • initialize-amb-fail nullstellige Prozedur zur Initialisierung des Ambiguous Systems
  • multichoice nimmt eine Liste und eine natürliche Zahl und gibt die richtigen Elemente aus (LOTTO 6 aus 49)
  • randomchoice nimmt eine Zahl und berechnet


In diesem Beispiel wird gefragt ob ein Element das enthalten ist.

Bei bag-of bekommen wir eine Liste mit für die Elemente und für die Elemente ein.

Das folgende Beispiel gibt durch oder aus ob das Element eine Liste ist.

Im nächsten Beispiel liefert uns die Prozedur als Ergebnis eine Liste mit Summanden welche wenn man sie adddiert mit dem Eingabewert übereinstimmen.

Hier wieder mit bag-of.

Die nachfolgende Prozedur prüft die Teilbarkeit der Summe von zwei Zahlen aus der Liste.

Nun noch ein Beispiel für und . Diese Elemente nutzen wir nun um sie auf das Rucksackproblem anzuwenden.

Der folgende Aufruf liefert uns alle Packzustände die 42 nicht überschreiten.

Jetzt haben wir alle Packzustände aber welcher ist nun am Besten? Die nächste Prozedur gibt uns darüber Auskunft.

Hier können wir uns nun den Packzustand und sein Gewicht anzeigen lassen.


Übungsaufgaben


1. Erstellen Sie die Prewalk-, Centralwalk- und Postwalkliste für diesen Graphen

Walks.JPG

2. Erstellen Sie den Operatorbaum und die Prewalk-,Centralwalk- und Postwalklisten für (10+10)-((3+2)*(1+1)). Wie lautet das Ergebnis und warum wird hier Punkt vor Strichrechnung eingehalten?

3. Erstellen Sie einen kompletten Tiefensuchbaum mit der Gegenstandsliste (9,2,5,7)

4. Erstellen Sie einen reduzierten Breitensuchbaum mit der Gegenstandsliste (9,2,5,7)

5. Erstellen Sie den kompletten Suchbaum für das n-Damenproblem mit n = 4, entweder mit dem Tiefensuchverfahren oder dem Breitensuchverfahren.

6. Ermitteln Sie die Lösungen für 4 Damen mittels Backtracking.

7. Experimentieren Sie mit diesem Programm und finden so verschiedene Lösungen für das 8-Damenproblem.

Hier finden Sie die Lösungen und Lösungsansätze: SystematSuche_Loesung

Hier sind unsere Folien:
SysSucheSS2010.pdf (0.9 MB)

Quellen


[1] Wagenknecht, Christian
Algorithmen und Komplexität.- Fachbuchverlag Leipzig, 2003.- ISBN 3-446-22314-2
[2] http://de.wikipedia.org/wiki/Breitensuche
[3] http://kik.informatik.fh-dortmund.de/visual/kurs_breitensuche.html
[4] http://www.tilman.de/uni/ws03/alp/tiefen-breitensuche.php
[5] http://de.wikipedia.org/wiki/Tiefensuche
[6] http://de.wikipedia.org/wiki/Iterative_Tiefensuche
[7] http://de.wikipedia.org/wiki/Damenproblem
[8] http://de.wikipedia.org/wiki/Graphentheorie
[9] http://www.tinohempel.de/info/info/sonstiges/expertensystem.pdf


Weblinks



http://de.wikipedia.org/wiki/Suchalgorithmus#Heuristische_.28Informierte.29_Suchalgorithmen

http://de.wikipedia.org/wiki/Topologische_Sortierung

http://www.tinohempel.de/info/info/sonstiges/expertensystem.pdf

http://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenh%C3%A4ngender_Graph

http://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%BCrzester_Pfad

http://www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/backtrack/achtdamen/autoacht.htm

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