Hilfsmittel Mathematik 2 SS11

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Autor: 

Bernd Schönlebe s3bescho@stud.hs-zigr.de

Inhaltsverzeichnis

Rekursionsgleichungen (Differenzengleichung)

Beispiel einer Rekursion in einer frühen Werbung um 1900

Bereits eine leicht verständliche Definition der Rekursion wirft eine scheinbar ebenso einfache Frage auf:

Rekursion
Siehe: "Rekursion".

Wie lange muss man "Rekursion" nachschlagen um die Definition zu erfahren? Bzw. wieviele Schritte werden benötigt? In diesem Fall sind es unendlich viele Wiederholungen, denn es handelt sich um einen Infiniten Regress. Im folgendem Beispiel ist schon eine Abbruchbedingung mit eingebaut:

Rekursion
Wenn Sie es noch nicht verstanden haben, Siehe: "Rekursion".

Hier kann man die vorhergehenden Fragen nicht so leicht beantworten, denn das Verhalten der Abruchbedingung ist unbekannt, aber immerhin ist es möglich, dass es zum Abbruch der Schleife kommt und somit eine Antwort gegeben werden kann. Ein Beispiel aus der Mathematik verdeutlich ein weiteres Problem:

Die Fibonacci Folge
Die Mathematische Definition der Fibonacci Folge Fn :
mit den Startwerten
und


Hier ein Beispiel zum Testen in Scheme:


Die Folge ist nach OEIS|A000045 genormt. Hier ein Auszug aus der Tabelle

n Fn n Fn n Fn n Fn n Fn
0 0 10 55 20 6.765 30 832.040 40 102.334.155
1 1 11 89 21 10.946 31 1.346.269 41 165.580.141
2 1 12 144 22 17.711 32 2.178.309 42 267.914.296
3 2 13 233 23 28.657 33 3.524.578 43 433.494.437
4 3 14 377 24 46.368 34 5.702.887 44 701.408.733
5 5 15 610 25 75.025 35 9.227.465 45 1.134.903.170
6 8 16 987 26 121.393 36 14.930.352 46 1.836.311.903
7 13 17 1.597 27 196.418 37 24.157.817 47 2.971.215.073
8 21 18 2.584 28 317.811 38 39.088.169 48 4.807.526.976
9 34 19 4.181 29 514.229 39 63.245.986 49 7.778.742.049


Grob gesagt ist ein Element die Summe seiner beiden Vorgänger. Hier ist der Aufwand linear, d.h. zur Berechnung von Fn werden n Schritte benötigt. Oder wenn wenn man n verdoppelt , verdoppelt sich die Anzahl der Schritte zur Berechnung. Aber wie ist der Verlauf der Ergebnisse? Wie groß werden die Ergebnisse wenn man n verdoppelt oder vervierfacht und wieviel Speicher benötigt man dafür? Im Folgenden sieht man eine graphische Darstellung des Verlaufes bis :


Motivation

Da man aber nun trotzdem eine Abschätzung für den Aufwand (Schritte, Resourcen, etc. ) braucht und dieser meist nicht direkt ablesbar ist, hat man mehrere Mathematische Methoden entwickelt. Nun könnte man entweder empirisch oder theoretisch die Aufwandsfunktion ermitteln. Daraus entsteht z.B. oder und man kann daran bereits die Aufwandsordnung nach der Groß-O-Notation ablesen: liegt in . liegt in . Sobald man jedoch Algorithmen entwirft, entstehen Gleichungen wie z.B. und es ist nicht mehr so einfach den Aufwand abzulesen. Wie erhält man nun die explizite Form für das von keinem anderen abhängt? Also der Form entspricht?

Computeralgebrasysteme(CAS)

Um solche schwierigen Aufgaben dem Mathematiker abzunehmen, hat man sich bequeme Werkzeuge entwickelt, welche diese Arbeit an den Computer delegieren. Es handelt sich um sogenannte Computeralgebrasysteme (kurz CAS). Das sind Programme, die neben dem numerischen auch das symbolische Rechnen beherrschen. Normalerweise würde ein Taschenrechner folgenden Bruch 1/3 als Dezimalzahl mit begrenzter Genauigkeit speichern und anzeigen. Ein Symbolischer Rechner dagegen wird es als Division zweier ganzer Zahlen speichern und davon, wenn gewünscht, die dezimale Anzeige ableiten. Außerdem wird im weiteren Verlauf der Rechnung mit diesem Symbol auch immer wieder die Division der beiden Zahlen eingesetzt, sodass das Ergebnis keine wachsende Ungenauigkeit erfährt. Aber natürlich können Sie inzwischen mehr als nur einen Bruch zweier ganzer Zahlen zu speichern. Hier ein Auszug:

-Termumformungen
-Termvereinfachung
-Gleichungslösen
-Extremwertbestimmung
-Graphische Kurvendarstellung

Es gibt verschiedene CAS (z.B. Maple, Mathematica, Matlab, Maxima) und jedes Softwarepaket geht unterschiedlich vor bei umformen von Gleichungen. Meist benutzt man sogenannte Z-Transformationen, die wiederum ein sehr schwieriges Thema in der Mathematik darstellen. Im Folgenden wird Maple benutzt um eine solche Lösung mit einem CAS zu demonstrieren.

Verwendung von Maple

1980 wurde durch Keith O. Geddes und Gastón H. Gonnet die erste Version von Maple programmiert. Inzwischen ist es bei Version 14 angekommen und hat somit bereits eine eigene Geschichte von Optimierungen hinter sich. Das Lösen der Anwandsgleichung wird hier duch den Befehl rsolve erledigt. Er verlangt als erstes Argument eine Liste mit Elementen und als zweites Argument ein Element nachdem aufgelöst werden soll.


Beispiel Fibonacci:

Eingabe: 
lsg1 := rsolve({T(0) = 0, T(1) = 1, T(n) = T(n-1)+T(n-2)}, T(n));


Ausgabe:


Als nächstes kann man sich mit dem Befehl simplify die Gleichung vereinfachen lassen.


Eingabe: 
simplify(lsg1);


Ausgabe:


Für die Darstellung in dezimaler Form gibt es dann noch den Befehl evalf. Er hilft hier dabei die asymtoptische Ordnung leichter abzuschätzen. Das Argument ist in diesem Fall dasselbe wie bei simplify und nicht dessen Ausgabe.


Eingabe: 
evalf(lsg1);


Ausgabe:


Hier kann man die asymptotische Ordnung direkt abgelesen werden: . Der Aufwand für die Fibonacci Folge ist damit exponentiell.

Raten und Einsetzen

Die wohl intuitivste Methode zur Findung der Aufwandsfunktion ist sich die ersten Schritte in der Wertetabelle anzusehen und durch (intelligentes) Raten auf die Funktion zu kommen. Als Beispiel soll folgende Rekursionsgleichung dienen:


Auch diese lässt sich wieder einfach in Scheme angeben:


Schon bei dem Versuch scheitert man praktisch daran das noch nicht definiert ist (da nur natürliche ganze Zahlen für eingesetzt werden dürfen) bzw. das man eine Endlosschleife betritt. Um das zu umgehen setzt man nur Zweierpotenzen ein

mit k = 1,2,3,....


Daraus ergibt sich folgende Wertetabelle:


Wenn man sich hier die Potenzenschreibweise ansieht kann man folgenden Zusammenhang für und vermuten und anschließend Umformen:

Mit Hilfe von Potenzsummen Gesetzen und der Formel: kann die Gleichung wie folgt umgewandelt werden:


Da bis jetzt nur mit gerechnet wurde, wird eine Substiution gesucht die abbildet. Da festgelegt wurde und da ist, muss für einfach nur substituiert werden.


Mit folgender Formel kann man weiter vereinfachen:


Somit ist aus einfach geworden. Mit etwas Überlegung kann durch den Beweis weiter unten für direkt einsetzen.


Da man bei der asymptotischen Ordnung nur das schwerwiegendste Element der Gleichung berücksichtigen muss lautet das Ergebnis:

Konstruktive Induktion

Es gibt die Möglichkeit mittels einer vollständigen Induktion den Aufwand einer Rekursionsgleichung zu ermitteln. Im Prinzip beweist man das eine Funktion für das Startelement und für alle folgenden Elemente oberhalb der gegebenen Rekursionsgleichung liegt. Da man nicht ausschließen kann, dass es keine Lösung gibt, muss man hier die sogenannte konstruktive Methode anwenden. Zu erst einmal wird auf konstruktive Weise eine Ausgangsgleichung ermittelt.Sieht man sich den Graphen weiter oben an, kann man vermuten das es sich um einen exponentiellen Aufwand (an Speicher) handelt. Folgende Aufwandsordnung würde man also daraus entnehmen:
Definition der Groß-O Notation
Gesprochen: ist die Menge aller Funktionen , für die es eine positive reelle Zahl gibt, sodass ab einem gewissen sämtliche Funktionswerte oberhalb von liegen.

Daraus kann man folgende Ungleichung ableiten, die zu es zu beweisen gilt:

Induktionsanfang

Als erstes soll die Funktion für die ersten beiden Elemente der Rekursionsgleichung bewiesen werden. Da aus der Definition der Fibonacci Folge und ist kann man wie folgt anfangen:

Schon im ersten Fall ergibt sich, dass ist und es somit schon aussreicht wenn ist. Um beide Fälle abzudecken reicht also schon zu setzen.

Induktionsschritt

Aus der Definition der Fibonacci-Folge ist bekannt das . Dies gilt es jetzt im Induktionsschritt zu beweisen. Es lässt sich folgend Rechnung erstellen:

Damit kann man sagen dass gilt, wenn ist. 





,

Da die Wurzel von 5 ist und somit einen negativer Wert erhalten würde, kann man ihn vernachlässigen. Die Lösung der Gleichung ist demnach

Der Aufwand der n-ten Fibonacci-Zahl lässt sich also wie folgt berechnen:

Wenn man den dezimalen Wert von nun nach oben und unten rundet, erhält man eine jeweils obere und untere Schranke für den Aufwand der n-ten Fibonacci-Zahl. Somit kann man sogar sagen so folgendes gilt:

Iterationsmethode

Ein Mittel mit mehr Automatisierung zur Lösung rekursiver Gleichungen ist die Iterationsmethode. Dazu benötigt man die rekursive Gleichung, sowie ein Wertpaar, welches ein n repräsentiert das rekursionsfrei ist. Hierfür wird meistens oder angegeben. Außerdem muss sie der Form entsprechen. Im folgenden wird das Beispiel aus dem Buch und , sowie verwendet (Siehe Seite 52).

Nun versucht man die Gleichung solang zu iterieren bis man einen Ausdruck erhält der rekursionsfrei ist. Dieser Prozess ist meistens endlich. Allerdings braucht man dazu eine hergeleitete rekursive Bildungsvorschrift, das sogennate Telescoping. Daraus muss anschließend eine explizite Bildungsvorschrift zur Bestimmung der Ordnung abgeleitet bewerden. Hier wird es nun am Beispiel vorgeführt:

Telescoping Gegeben sei die Aufwandsfunktion mit

Jetzt iteriert man einfach einmal weiter, d.h. man setzt für einfach wieder dieselbe Funktion ein und erhält

Zusammengefasst kann man schon die rekursive Bildungsvorschrift sehen

Allgemein betrachtet kann man sagen

Auch diese kann man wieder in Kurzschreibweise zusammenfassen

Von der Aufgabenstellung her kann man entnehmen das nur für rekursionsfrei ist. Als muss eine Rekursion auf enden und zwar in der Form

Da man diesen Term nach umstellen kann erhält man

Setzt man diesen Ausdruck nun für ein erhält man die explizite Gleichung

Wie schon bei der konstruktiven Induktion kann man diese geometrische Reihe wie folgt umformen

Ebenfalls wie bei der konstruktiven Induktion kann man auch hier die Umformung des Logarithmus mittels anwenden

Fasst man das noch zusammen erhält man schließlich:

Aus der Überlegung das und ist, ergibt sich der Aufwand für als

Die Meistermethode

Nun kann es aber sein, dass die Restfunktion eine höhere Ordnung hat als der Teil und somit ab einem bestimmten größer wird als . Um zu überprüfen ob dieser Fall vorliegt wurde die Meistermethode eingeführt. Bedingung dafür ist eine Gleichung der folgenden Form

Dabei wird verglichen ob es in eine Aufwandsklasse passt oder nicht. Da man hier von der exponentiellen Ordnung ausgeht, entscheidet also der Exponent darüber, ob eine Klasse der anderen zugehört oder umgekehrt. Man setzt die beiden Ordnungen gleich und ermittelt . Dazu benutzt man die Formel

Es ergeben sich also 3 verschiedene Fälle für , die zu betrachten sind

1.Fall

Da man von der exponentiellen Ordnung ausgeht, hat eine kleinere Ordnung für ,also , zur Folge, dass ist, also untergeordnet und vernachlässigbar ist. Der Aufwand für die Gleichung ist somit der von T(n).


2.Fall

Für ergibt sich die gleiche Ordnung für beide Teile und somit kann man keins von beiden vernachlässigen. Damit kann man sagen das die asymptotisch scharfe Schranke von ist und damit gilt. Die Addition ist hier folgendermaßen definiert:


3.Fall

Tritt nun doch der Fall ein das der Restteil überwiegt, muss man noch prüfen ob es für folgende Gleichung

ein gibt, welches zwischen 1 und 0 liegt. Wenn gilt, ist der Aufwand der des Resteils

Wann nicht anwenden

Aufgaben

Raten und Einsetzen Gegeben:

Aufgabe:

Berechnen Sie die Aufwandsordnung von


Lösungen

Raten und Einsetzen

Quellenverzeichniss

Von „https://programmingwiki.de/AuK/Hilfsmittel_Mathematik_2_SS11“
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