Vorlesung1
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Ausgewählte mathematische Grundlagen
Aufgabe 3
Für die folgende Implikation ist die zugehörige Wahrheitstafel aufzustellen.
Implikation: \lnot B \land (A \rightarrow B) \Rightarrow \lnot A
| | A | B | \lnot A | \lnot B | A \rightarrow B | \lnot B \land (A \rightarrow B) | \lnot B \land (A \rightarrow B) \Rightarrow \lnot A |
| | w | w | f | f | w | f | w |
| | w | f | f | w | f | f | w |
| | f | w | w | f | w | f | w |
| | f | f | w | w | w | w | w |
Für jede mögliche Belegung der Variablen A, B und C trift die Implikation zu. Somit handelt es sich hierbei um eine Tautologie.
Aufgabe 6
Für die folgenden logischen Ausdrücke sollen durch Wahrheitstafeln auf Richtigkeit überprüft werden.
Kontraposition: (A \rightarrow B) \Leftrightarrow ( \lnot B \rightarrow \lnot A)
| | A | B | \lnot A | \lnot B | A \rightarrow B | \lnot B \rightarrow \lnot A | (B \rightarrow A) \Leftrightarrow ( \lnot B \rightarrow A) |
| | w | w | f | f | w | w | w |
| | w | f | f | w | f | f | w |
| | f | w | w | f | w | w | w |
| | f | f | w | w | w | w | w |
Die Wahrheitstafel zeigt die Tautologie des logischen Ausdrucks der Kontraposition. Somit ist nachgewiesen, dass der Ausdruck richtig.
Widerspruchsbeweis: (A \rightarrow B) \Leftrightarrow (A \land \lnot B \rightarrow f)
| | A | B | \lnot B | A \rightarrow B | A \land \lnot B | (A \rightarrow B) \Leftrightarrow (A \land \lnot B) |
| | w | w | f | w | f | f |
| | w | f | w | f | w | f |
| | f | w | f | w | f | f |
| | f | f | w | w | f | f |
Da die Implikation A \Rightarrow B logisch äquivalent zu der Aussage \lnot A\lor B ist, lässt sich einfach anhand einer Wahrheitstafel zeigen. Demzufolge ist \lnot (A \Rightarrow B) ebenfalls logisch äquivalent zu A \land \lnot B. Somit kann die Implikation A \Rightarrow B durch die Widerlegung der Aussage A \land \lnot B bewiesen werden.
Die Wahrheitstafel zeigt genau diesen Sachverhalt, was die Richtigkeit des logischen Ausdrucks des Widerspruchsbeweis bestätigt.
Aufgabe 8
Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen A \rightarrow B, B \rightarrow C und \lnot C die Gültigkeiten von \lnot A und \lnot B folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Wahrheitstafel dar.
| | Nummer | A | B | C | \lnot A | \lnot B | \lnot C | A \rightarrow B | B \rightarrow C |
| | 1 | w | w | w | f | f | f | w | w |
| | 2 | w | w | f | f | f | w | w | f |
| | 3 | w | f | w | f | w | f | f | w |
| | 4 | w | f | f | f | w | w | f | w |
| | 5 | f | w | w | w | f | f | w | w |
| | 6 | f | w | f | w | f | w | w | f |
| | 7 | f | f | w | w | w | f | w | w |
| | 8 | f | f | f | w | w | w | w | w |
Damit die oben genannte Aussage zutrifft, müssen die Variablen A, B und C mit f belegt sein.
Was kann man über die Gültigkeit von A und B schließen, wenn bekannt ist, dass A \rightarrow B, B \rightarrow C und C gelten? Verwenden Sie die Tabelle aus der vorhergehenden Aufgabenlösung.
| | Nummer | A | B | C | \lnot A | \lnot B | \lnot C | A \rightarrow B | B \rightarrow C |
| | 1 | w | w | w | f | f | f | w | w |
| | 2 | w | w | f | f | f | w | w | f |
| | 3 | w | f | w | f | w | f | f | w |
| | 4 | w | f | f | f | w | w | f | w |
| | 5 | f | w | w | w | f | f | w | w |
| | 6 | f | w | f | w | f | w | w | f |
| | 7 | f | f | w | w | w | f | w | w |
| | 8 | f | f | f | w | w | w | w | w |
Unter der Annahme, dass die Aussage A \rightarrow B, B \rightarrow C und C gültig ist, gibt es 3 mögliche Belegungen von A und B.
(w,w), (f,w) sowie (f,f)
Aufgabe 11
Für die Folg. definierte Funktion q:\R \rightarrow \R ist an der Stelle x=3 undefiniert. Hierfür wird das Symbol \bot verwendet.
$q(x) = \left \{ \begin{array}{ll} \frac{ 35 }{ x-3 } & \mbox{, wenn } x \neq 3 \\ \bot & \mbox{, sonst. } \end{array} \right.$
Schreiben Sie ein Programm, das q berechnet.