Python-Die Eulersche Zahl
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Es gilt: $e = 2,718~281~828~459~045~235~360~287~471~352~...$
Inhaltsverzeichnis |
Die Eulersche Zahl als Grenzwert einer Zahlenfolge
Die Zahlenfolge
$e_n=(1+\frac{1}{n})^n\hspace{0.3em},\hspace{0.3em}\mbox{für}\hspace{0.3em}n=1, 2, 3, ...$
hat als Grenzwert die Eulersche Zahl.
$e=\lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$
Konvergenz
Diese Zahlenfolge konvergiert also sehr langsam.
Die Eulersche Zahl als Kettenbruch
Die Eulersche Zahl lässt sich deutlich schneller mit einem Kettenbruch annähern.
$e=2+\dfrac{2}{2+\dfrac{3}{3+\dfrac{4}{4+\dfrac{5}{5+\dfrac{6}{...}}}}}$
Iterative Implementation
Rekursive Implementation
Konvergenz
Euler-Zufall 1
Wie oft müssen Zufallszahlen aus dem Intervall [0, 1] gebildet werden, damit die Summe zum ersten Mal 1 überschreitet?
Simulation
Euler-Zufall 2
Eine Folge von Zahlen wird zufällig aus dem Intervall [0, 1] erzeugt.
Der Prozess wird so lange fortgesetzt, wie die Folge monoton steigend ist.
Welche Länge der monotonen Folge wird erwartet?
Simulation
Ein Rencontre-Problem (Fixpunktreie Permutationen)
Die Stapel zweier gleicher Kartenspiele werden jeweils gemischt und verdeckt nebeneinander gelegt.
Fortlaufend werden die beiden oben liegenden Karten aufgedeckt und nebeneinander gelegt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann ein gleiches Paar erwartet werden?
Simulation
Das Rosinenproblem
In den Teig für 100 Brötchen werden zufällig 100 Rosinen hinengeknetet.
Wie viele Brötchen enthalten mindestens eine Rosine?
Simulation
Das Münzenproblem
Eine Fastfood-Kette verschenkt bei jedem Einkauf eine Münze eines 50-teiligen Satzes von Sondermünzen.
Ziel ist es, den gesamten Münzsatz zu sammeln.
Welchen Bruchteil des kompletten Münzsatzes würde man nach 50 Einkäufen erwarten?
Simulation
Das Sekretärinnenproblem
Für eine Sekretärinnenstelle gibt es $n$ Bewerberinnen.
Die ersten $k$ Bewerberinnen werden zwar angehört, aber allesamt abgelehnt.
Die Gespräche werden fortgeführt und die Kandidatin eingestellt, die besser als alle Vorgängerinnen ist. Solle es keine bessere geben, muss die letzte Bewerberin eingestellt werden.
Bei welcher Anzahl $k$ ist die Wahrscheinlichkeit am größten, die beste Bewerberin einzustellen?
Simulation
Anmerkung
Diese Algorithmen wurden anlässlich des 315. Geburtstages Leonhard Eulers gemeinsam mit Dr. Hubert Langlotz (Thüringen) in einem webbasierten Seminar am 06.12.2022 vorgestellt.
Löbau, den 17.12.2022
Veit Berger