Newton-Verfahren
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Grundlagen
Zur näherungsweisen Bestimmung der Nullstelle einer stetigen Funktion kann an einer beliebigen Stelle
die Tangente angelegt werden. Für den Anstieg
der Tangente gilt:
wobei die Nullstelle der Tangente ist. Diese Nullstelle ist ein erster Näherungswert für die Nullstelle der Funktion
und wird als Startwert für die erneute Anwendung des Verfahrens genutzt.
Die Nullstellensuche soll abgebrochen werden, wenn
in einer hinreichend kleinen
-Umgebung liegt.
Damit kann die Nullstelle der Funktion mit beliebiger Genauigkeit angenähert werden.
Algorithmus
-
Lege einen geeigneten Startwert
fest.
-
Falls
ist, dann gib
-
Anderenfalls berechne
und suche die Nullstelle mit dem neuen Startwert
.
Implementation
Zur Bestimmung des Anstiegs nutzen wir die Prozedur höherer Ordnung ableitung.
Natürlich müssen wir auch daran denken, dass die stetige Funktion u. U. keine reelle Nullstelle besitzt.
Nullstellensuche mit Schaubild
Wir wollen die Nullstellensuche am Schaubild der Funktion demonstrieren und damit das Ergebnis überprüfen. Dazu sammeln wir mit der Prozedur fkt-list die Lambda-Terme der Funktion und die aller Tangenten, die zur Nullstellensuche benötigt werden. Abschließend wollen wir das numerische Ergebnis sinnvoll runden.
Hinweise:
- Die Prozedur rgb-list liefert eine beliebige Anzahl von aufeinander abgestimmten Farbwerten.
- Die zu untersuchende mathematische Funktion wird als Lambda-Term in einem Interaktionsfenster eingegeben, z.B.:
(lambda (x) (+ (expt x 3) (* -2 (expt x 2)) (* -11 x) 12))
