Sätze und Zusammenhänge
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Aufzählbarkeit und Semi-Entscheidbarkeit
Es geht hier um den Beweis des Satzes: Wenn eine Menge $M$ semi-entscheidbar ist, dann ist $M$ auch aufzählbar.
Da die Semi-Entscheidbarkeit mittels semi-charakteristischer Funktion $\chi'_M$ behandelt wird, müssen wir damit rechnen, dass $\chi'_M$ für gewisse Wörter $w$ nicht definiert ist. Die zugehörige Prozedur würde ewig laufen und kein Ergebnis zurückgeben. Dies führt uns zu der Idee, Berechnungen zeitlich zu beschränken.
Zeitbeschränkte Berechnung
Hierfür wird ein Timer verwendet. In folgendem Beispiel geben wir 200 Zeiteinheiten vor und versuchen in dieser Zeit die Berechnung der 10. Fibonacci-Zahl abzuschließen.
Das gelingt offensichtlich.
Aufgabe: Modifizieren Sie die Vorgabezeit solange, dass sie zur Berechnung von (fib 10) gerade noch ausreicht.
Aufgabe: Geben Sie der Berechnung von (fib 40) wiederum 200 Zeiteinheiten und starten Sie die Berechnung. Klar, die Zeit reicht nicht aus. Wichtig ist nun die Beobachtung, dass die Rechnung wirklich abgebrochen wird. Es würde uns nichts nützen, wenn das Programm sagt, dass die Zeit nicht reicht, der Prozess aber munter fortgesetzt wird.
Paarungsfunktion
Der Beweis des o.g. Satzes erfordert die Definition einer Aufzählfunktion $f:\NN\mapsto M$. Zur Berechnung von $f(i)$ wird zuerst aus $i$ genau ein Paar $(x,y)$ ermittelt. Anschließend findet die zeitlich beschränkte Berechnung von $\chi'_M(g(x))$ statt: Ist sie nach $y$ Zeiteinheiten beeandet, liefert $f(i)$ das Ergebnis $g(x)$, wobei $g$ die Aufzählprozedur von $A^*$ ist. Anderenfalls wird die Berechnung abgebrochen.
Erwartungsgemäß muss die Funktion $i\mapsto (x,y)$ bijektiv und berechenbar sein. Diese Eigenschaft besitzen Paarungsfunktionen, wie etwa die von Cantor: \[i = \pi(x,y) = \frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+y \]
Die Vorschriften zur Ermittlung von $x$ und $y$ lauten: $y=i-t$ und $x=w-y$, wobei $w=\left\lfloor\frac{\sqrt{8i+1}-1}{2}\right\rfloor$ und $t=\frac{w(w+1)}{2}$.
Mit dem folgenden Aufruf kann man einige der in der Tabelle eingetragenen Werte erzeugen.
$\begin{array}{c|cccccc}
x\backslash y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \dots\\\hline
0 & 0 & 2 & 5 & 9 & 14 & \dots \\
1 & 1 & 4 & 8 & 13 & \dots & \\
2 & 3 & 7 & 12 & \dots & & \\
3 & 6 & 11 & \dots & & & \\
4 & 10 & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &
\end{array}$
Das Format der ausgegebenen Listenelemente ist: ((x y) i).
Für ein konkretes Beispiel benötigen wir ein Alphabet $A$ (Variable alphabet):
Die Aufzählfunktion $g:\NN\setminus\{0\}\mapsto A^*$ wird durch die Prozedur zahl->wort berechnet.
Für die Umkehrfunktion $g^{-1}: A^*\mapsto \NN\setminus\{0\}$ haben wir die Prozedur wort->zahl.
An welcher Position in der Menge $A^*$ befindet sich das Wort cac?
Welches Wort steht an Position 34?
Aufgabe: Verändern Sie die oben eingegebenen Argumente und überprüfen Sie das jeweilige Ergebnis durch die entsprechende Umkehrfunktion.
Jetzt haben wir alle Vorbereitungen getroffen, um den Beweis an einem Beispiel zu illustrieren. $M$ sei die Menge aller Wörter aus $A^*$, die eine Fibonacci-zahlige Anzahl von b's enthalten.
Wir erhalten ein Wort, das 5 b's enthält. 5 ist eine Fibonacci-Zahl. Also gehört dieses Wort zu $M$.
$\chi'_M$ muss also für $i=0,1,\ldots$ prüfen, ob $fib(i)=k$, wobei $k$ die Anzahl der im betrachteten Wort vorkommenden b's bezeichnet. Für $k=5$ erkennt $\chi'_M$ die Übereinstimmung bei $i=5$ und liefert den Wert $wahr$. 40 Zeiteinheiten reichen für diese Berechnung jedoch nicht aus:
Das Ergebnis ist ein Wort, das zu $M$ gehört, nämlich "b".
Aufgabe: Erhöhen Sie die Zeitvorgabe um 1 auf 41 und kommentieren Sie das Ergebnis.
Wir wählen nun ein Beispielwort aus $A^*$ das 6 b's enthält.
Es gehört nicht zu $M$. Ganz gleich wie viel Zeit wird zur Berechnung von $f$ zur Verfügung stellen, es gibt kein anderes Ergebnis als "b".
Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit
Satz: Eine Menge $M$, mit $M\subseteq A^*$, ist entscheidbar genau dann, wenn $M$ und $A^*\setminus M$ (Komplementmenge) aufzählbare Mengen sind.
Wir wollen den Beweis des Teils "Wenn $M$ und $A^*\setminus M$ aufzählbare Mengen sind, dann ist $M$ eine entscheidbare Menge." mit einem ausführbaren Beispiel illustrieren.
Wir wählen für $f$ die Aufzählprozedur für die ungeraden Zahlen und für $g$ die Aufzählprozedur für die geraden Zahlen. Damit erzeugen wir die betrachteten Mengen $M$ und $A^*\setminus M$.
Von beiden Mengen schauen wir uns jeweils 10 Elemente an.
Wie man sieht, haben wir es mit Mengen von Zahlwörtern zu tun.
Die Prozedur für $\chi_M$ wurde so konstruiert, wie im Beweis angegeben. Erproben Sie selbst einige Aufrufbeispiele mit selbstgewählten Wörtern aus $A^*$, also Wörtern natürlicher Zahlen.
