BuK-Übung02 G2

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Intuitiver Berechnbarkeitsbegriff

(define haelt-fuer-n?
  (λ (f n)
    (if (integer? (f n))
        #t
        #f)))

(define haelt?
  (λ (f)
    (haelt-fuer-n? f 0)))

(define crazy
  (λ (n)
    (if (haelt? crazy n)
        (crazy n)
        n)))

(define haelt-tricky?
  (λ (f timeout)
    (letrec 
        ([ft (thread f)]
         [helper
          (λ (timeLeft)
            (if (thread-running? ft)
                (if (= timeLeft 0)
                    #f
                    (begin (sleep 1) (helper (- timeLeft 1))))
                #t))])
      (helper timeout))))

(define test1
  (λ ()
    (print "hallo")))

(define test2
  (λ ()
    (test2)))

(haelt-tricky? test1 10)

(haelt-tricky? test2 10)

Bijektive Funktion

Es sei eine Funktion f:{\mathbb{N}}^{+} \rightarrow {\mathbb{Q}}^{+} gegeben:

f(n) = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{wenn } n=1 \mbox{,}\\ f(\frac{n}{2})+1, & \mbox{wenn } n \mbox{ gerade,}\\ \frac{1}{f(n-1)}, & \mbox{wenn } n \mbox{ ungerade.} \end{matrix}\right.

Die Funktion f ist eine bijektive Abbildung, wenn eine Umkehrfunktion f^{-1} existiert. Also wenn für alle y \in Y genau ein x \in X mit f\left(x\right) = y existiert.

Um die Funktion zu testen, werden für n = 1,2,...,7 die Ergebnisse per Hand begerechnet:

f(1) = 1

f(2) = f(2/2)+1 = f(1)+1 =2

f(3) = \frac{1}{f(3-1)}=\frac{1}{f(2)}=\frac{1}{2}

f(4) = f(4/2)+1 = f(2)+1 = 2+1=3

f(5) = \frac{1}{f(5-1)}= \frac{1}{f(4)}= \frac{1}{3}

f(6) = f(3)+1=\frac{3}{2}

f(7) = \frac{1}{f(6)}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}

Die Funktion sieht folgendermaßen in Scheme aus:

(define fkt
  (lambda (n)
    (if (= n 1) 
        1 
        (if (= (modulo n 2) 0) 
            (+ 1 (fkt(/ n 2)))
            (/ 1 (fkt(- n 1))) 
         )
     )
  )
)

Zu der Funktion 2 Beispiel-Aufrufe:

(fkt 6)

(fkt 7)

Daraus entsteht dann die Umkehrfunktion.

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