Python-Das Geburtstagsparadoxon

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Inhaltsverzeichnis

1 Problem 1
2 Problem 2
- 2.1 Simulation
- 2.2 Mehrfachsimulation
3 Problem 3
- 3.1 Simulation
- 3.2 Mehrfachsimulation
4 Literatur

Problem 1

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter N Personen zwei am gleichen Tag Geburtstag haben?

Simulation

from random import *

def simulation1(n):
  z = 0
  ls = [randint(1, 365) for i in range(n)]
  for i in range(n - 1):
    for j in range(i + 1, n):
      if ls[i] == ls[j]:
        z = 1; return z
  return z

print(simulation1(10))

Mehrfachsimulation

def experiment1(n, m):
  z = 0
  for i in range(n):
    z += simulation1(m)
  return z / n

print(experiment1(10000, 23))

Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter N Personen zwei am gleichen Tag Geburtstag haben, berechnet sich mit:

p(n) = 1 - \dfrac{365 \cdot 364 \cdot \hspace{0.3em} ... \hspace{0.3em} \cdot (365 - (n -1))}{365 ^ n}

def produkt(von, bis):
  p = 1
  while von <= bis:
    p *= von
    von += 1
  return p

def wahrscheinlichkeit1(n): 
  return 1 - produkt(365 - (n - 1), 365) / (365 ** n)

print(wahrscheinlichkeit1(23))

Problem 2

Wie viele Personen muss man im Mittel nach ihrem Geburtstag fragen, bis man einen Doppelgeburtstag erhält?

Simulation

def simulation2():
  z = 1
  ls = []; dat = randint(1, 365)
  while not (dat in ls):
    ls.append(dat)
    dat = randint(1, 365)
    z += 1
  ls.append(dat)
  return z

print(simulation2())

Mehrfachsimulation

def experiment2(n):
  z = 0
  for i in range(n):
    z += simulation2()
  return z / n

print(experiment2(10000))

Interessanterweise sind unter dieser Fragestellung im Mittel 25 Personen notwendig.

Problem 3

Wie groß muss eine Gruppe von Personen sein, damit im Mittel mindestens ein Doppelgeburtstag auftritt?

Simulation

def simulation3(n):
  z = 0
  ls = [randint(1, 365) for i in range(n)]
  while len(ls) > 0:
    z += 1
    n = ls[0]; del ls[0]
    if n in ls: break
  return z

print(simulation3(50))

Mehrfachsimulation

def experiment3(n, m):
  z = 0
  for i in range(n):
    z += simulation3(m)
  return 1 - z /  n / m

print(experiment3(10000, 29))

Bei einer Personengruppe mit N = 29 Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit mindestens eines Doppelgeburtstages 50 \%.

Literatur

[1] F. Barth, R. Haller (2012): Besetzungen und Geburtstage, in: Stochastik in der Schule 32 (3), S. 20–27.
[2] F. Barth, R. Haller (2013): Gemeinsame Geburtstage, in: Stochastik in der Schule 33 (1), S. 25–32

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Wahrscheinlichkeit

Problem 2

Simulation

Mehrfachsimulation

Problem 3

Simulation

Mehrfachsimulation

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