Teile und Herrsche 2 SS09
Inhaltsverzeichnis |
Diese Seite stellt eine inhaltliche Fortsetzung des Themas Teile und Herrsche 1 dar.
Zusammenfassung
Binäre Suche
Wie funktionierts?
Jeder war bestimmt schon einmal in einer Situation, in der man aus einer großen Menge von Informationen eine Bestimmte wieder finden musste. Als einfaches Beispiel könnte ein sehr großes Bücherregal dienen. Nehmen wir weiterhin an, irgendjemand hat die Bücher anhand ihrer Titel alphabetisch geordnet. Nun hat man folgende Möglichkeiten, jedes Buch vom ersten Beginnend zu betrachten oder in der Mitte (natürlich setzen wir voraus das man die Mitte durch einen kurz Blick genau lokalisiert) zu beginnen und zu prüfen ob unser gesuchter Titel "kleiner oder größer" als der Titel des Buches in der Mitte.
Hinweis: Wir erinnern uns an die "längen lexikographische Ordnung von Wörtern"!
Der Trick besteht also darin, den Suchraum stets zu halbieren und festzustellen in welcher Hälfte unsere gesuchte Information wohl zu finden ist, diese Hälfte wird dann wieder halbiert und es wird wieder verlgichen und so weiter... . Um nun auf einen konkreten Algorithmus und dessen Effizienzanalyse hinzuarbeiten, reduzieren wir das Problem auf eine aufsteigend sortierte Liste mit Integerzahlen. Da der zusätzliche Aufwand für das bestimmen der längenlexikographischen Ordnung wie oben erwähnt die Analyse nur unnötig erschwert.
Also nun zu unserer Liste:
$$L= \{ e_{1}, e_{2}, ... , e_{n} \}$$Wie erwähnt, muss die Liste bereits zu begin geteilt werden, dies geschieht beim Element mit dem Index k, die Mitte der Liste ist also k = \frac{n}{2}. Wobei man ja davon ausgehen kann, das die Liste nicht zwangsläufig ungerad zahlig viele Elemente besitzt, sodass man ein Element in der Mitte ausmachen kann. Also müssen wir unser k folgendermassen korrigieren k = \lfloor\frac{n}{2}\rfloor somit nehmen wir bei der Division den ganzzahligen Wert, nach unten gerundet.
Nun haben wir eine linke Teilliste L_{l}=\{a_{1}, a_{2}, ... a_{k}\} und eine rechte Teilliste L_{r}=\{a_{k+1}, a_{k+2}, ... a_{n}\}
Jetzt wird unser Zielwert x mit dem ersten Element a_{k+1} der rechten Liste x < a_{k+1} verglichen, jenach Ergebniss wird mit L_{r} oder L_{l} weiter gearbeitet.