Hilfsmittel Mathematik 1 SS09

Exponentialfunktionen und Lineare Regression [Igor Geiger]

Bei der Analyse von Algorithmen zur Bestimmung des Mittleren Aufwandes ,für eine bestimmte Anzahl an Eingabegrößen,die von der Anwendung des Algorithmus abhängt,tritt eine Punktmenge im Kartesischen Koordinatesystem auf,die exponentiäl beschrieben werden kann. In realen Meßungen ergibt sich aber meistens eine verworfene Punktmenge die einer Exponentialfunktion angenährt werden kann.Jedoch lässt sich anhand dieser Kurve nicht der durchschnittliche Aufwand des Algorithmus exakt bestimmen da man dazu einen exakten Anstieg braucht. Dazu würd die entstandene Exponentialfunktion in ein Kartesiches Koordinatensystem mit einer logarithmischen y-Achse überführt.

Daher was 1 in der Normalen y-Achse wahr ist jetzt 10 in der neuen Achse,den der Logarithmus zur Basis 10 von 10 ist 1 usw.

Darstellung von T(n)=10*2^n im neuen System nach Gnuplot. Im Normalen System würde dies der Logarithmierung der ursprünglichen Funktion entsprechen:

Darstellung von T(n)=10*2^n im logarithmischen System:

Desweiteren hat sich gezeigt das es viel einfacher ist eine Gerade im dargestellten Logarithmischen Koordinatensystem anhand der eingetragenen Punkte zu verlegen als eine Exponentialfunktion im normalen Koordinatensystem zu bestimmen.

Die mathematische Methode zur Bestimmung einer Geraden im logarithmischen Koordinatensystem,anhand der verstreuten Messpunkte,nennt man Lineare Regression. Die Gerade f(n)=a*n+b soll so bestimmt werden das der maximale Abstand zwischen der Geraden und den Messpunkten möglichst klein wird.

Polynomfunktion

Ein Graph wird zur Gerade wenn beide Achsen logarithmisch eingestellt sind.
Bei Funtionen folgender Gestalt:

• T(n) = c*n^k, k >= 1

Diese Funtion kann weiter beschrieben werden als:

• T(n) = c_1*n^{k1} + c_2*n^{k2} + ... + c_i*n^{ki}

Daraus ergibt sich folgender Funktionsgraph mit normaler Achseneinteilung für:
* 2*n^{12}+10*x^2+1234*x