Aufgaben Lösung

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Archivierte Version vom 2010-04-19T13:08:46+00:00. Aktuelle Version

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1 Lösungen zu den Übungsaufgaben

Diese Seite hält die Lösungen der Aufgaben auf der Seite AuK/Teile und Herrsche 2 SS10/Aufgaben bereit.

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Binäre Suche

Die Korrigierte Datei der Binären Suche Übung 1 Binäre Suche:

Simabrzo_Richtig-bin-suche.zip

Übung 2 der Binären suche: Der Quellcode einer Binären Suche:

(define bin-suche
  (lambda (ls wert)
    (call-with-values
     (lambda ()(teilliste2 ls))
     (lambda (lls rls)
       (cond
         [(null? rls) "Element nicht enthalten."]
         [(= wert (car rls)) "Element enthalten."]
         [(< wert (car rls))
          (if (null? lls)
              "Element nicht enthalten."
              (bin-suche lls wert))]
         [else
          (if (null? (cdr rls))
              "Element enthalten."
              (bin-suche ls wert))])))))

(define teilliste2
  (lambda (ls)
      (let ((k (floor (/ (length ls) 2))))
        (letrec
            ((helfer
              (lambda (ls i)
                (if (= i 0)
                    (values '() ls)
                    (call-with-values
                     (lambda () (helfer (cdr ls)(- i 1)))
                     (lambda (links rechts)
                       (values (cons (car ls) links) rechts)))))))
          (helfer ls k)))))

(define mergesort
  (lambda (ls)
    (if (or (null? ls)(null? (cdr ls)))
        ls
        (call-with-values
         (lambda () (teilliste2 ls))
         (lambda (ls1 ls2)
           (verbinden
            (mergesort ls1)
            (mergesort ls)))))))

(define verbinden
  (lambda (lls rls)
    (cond
      [(null? lls) rls]
      [(null? rls) lls]
      [else
       (let ((x (car lls))(y (car rls)))
         (if (< x y)
             (cons x (verbinden (cdr lls) rls))
             (cons y (verbinden lls (cdr rls)))))])))

<eval> (define d '(1 8 10 21 23 29 41 59 81 90 234 3333))</eval>

(bin-suche d 90)

Multiplikation großer ganzer Zahlen nach KARATSUBA und OFMAN

3812 \cdot 3264

a=3802\Rightarrow a_1=38 \textrm{ und }a_0=12\\ b=3264\Rightarrow b_1=32 \textrm{ und }b_0=64

Damit berechnet man r, sund t:

r=a_{1}\cdot b_{1}=38\cdot32=1216\\ s=(a_{0}-a_{1})\cdot(b_{0}-b_{1})=-832\\ t=a_{0}\cdot b_{0}=768\\ \\ a\cdot b = r\cdot z^{n}+(r+t-s)z^{\frac{n}{2}}+t=1216\cdot10^4+(1216+768+832)\cdot10^2+768=\underline{\underline{12442368}}

837147 \cdot 479253

a=837147\Rightarrow a_1=837 \textrm{ und }a_0=147\\ b=479253\Rightarrow b_1=479 \textrm{ und }b_0=253

Damit berechnet man r, sund t:

r=a_{1}\cdot b_{1}=837\cdot479=400923\\ s=(a_{0}-a_{1})\cdot(b_{0}-b_{1})=(147-837)\cdot(253-479)=155940\\ t=a_{0}\cdot b_{0}=147\cdot253=37191\\ \\ a\cdot b = r\cdot z^{n}+(r+t-s)z^{\frac{n}{2}}+t=400923\cdot10^6+(400923+37191-155940)\cdot10^3+37191=\underline{\underline{401205211191}}

34 \cdot 56

a=34\Rightarrow a_1=3 \textrm{ und }a_0=6\\ b=56\Rightarrow b_1=5 \textrm{ und }b_0=6

Damit berechnet man r, sund t:

r=a_{1}\cdot b_{1}=3\cdot5=15\\ s=(a_{0}-a_{1})\cdot(b_{0}-b_{1})=(4-3)\cdot(6-5)=1\\ t=a_{0}\cdot b_{0}=4\cdot6=24\\ \\ a\cdot b = r\cdot z^{n}+(r+t-s)z^{\frac{n}{2}}+t=15\cdot10^2+(15+24-1)\cdot10^1+24=\underline{\underline{1904}}

Schnelle Matrixmultiplikation nach STRASSEN

Gegeben sind die zwei Matrizen A und B mit:

A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 8 & 9\\ 1 & 5 & 9 & 2\\ 5 & 7 & 4 & 3\\ 2 & 3 & 8 & 1 \end{pmatrix} und

B=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 8 & 6\\ 1 & 4 & 9 & 5\\ 7 & 6 & 4 & 3\\ 2 & 9 & 2 & 3 \end{pmatrix}

Die Matrizen zerlegt man nach folgendem Muster in Teilmatrizen:

C=A\cdot B= \begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{1,2}\\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} B_{1,1} & B_{1,2}\\ B_{2,1} & B_{2,2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} C_{1,1} & C_{1,2}\\ C_{2,1} & C_{2,2} \end{pmatrix}

Daraus ergeben sich die 8 Teilmatrizen:

A_{1,1}=\begin{bmatrix}3 & 4\\1 & 5\end{bmatrix}\text{, } A_{1,2}=\begin{bmatrix}8 & 7\\9 & 2\end{bmatrix}\text{, } A_{2,1}=\begin{bmatrix}5 & 7\\2 & 3\end{bmatrix}\text{, } A_{2,2}=\begin{bmatrix}4 & 3\\8 & 1\end{bmatrix}\\ B_{1,1}=\begin{bmatrix}3 & 2\\1 & 4\end{bmatrix}\text{, } B_{1,2}=\begin{bmatrix}8 & 6\\9 & 5\end{bmatrix}\text{, } B_{2,1}=\begin{bmatrix}7 & 6\\2 & 9\end{bmatrix}\text{, } B_{2,2}=\begin{bmatrix}4 & 3\\2 & 3\end{bmatrix}

Damit lassen sich M_{1} bis M_{7} berechnen:

M_{1}=(A_{1,1}+A_{2,2})\cdot(B_{1,1}+B_{2,2})=\begin{pmatrix}70 & 84\\81 & 87\end{pmatrix}\\ M_{2}=(A_{2,1}+A_{2,2})\cdot B_{1,1}=\begin{pmatrix}37 & 58\\34 & 36\end{pmatrix}\\ M_{3}=A_{1,1}\cdot(B_{1,2}-B_{2,2})=\begin{pmatrix}40 & 17\\39 & 13\end{pmatrix}\\ M_{4}=A_{2,2})\cdot (B_{2,1}-B_{1,1})=\begin{pmatrix}19 & 31\\33 & 37\end{pmatrix}\\ M_{5}=(A_{1,1}+A_{1,2})\cdot B_{2,2}=\begin{pmatrix}66 & 66\\54 & 51\end{pmatrix}\\ M_{6}=(A_{2,1}-A_{1,1})\cdot(B_{1,1}+B_{1,2})=\begin{pmatrix}52 & 43\\-9 & -10\end{pmatrix}\\ M_{7}=(A_{1,2}-A_{2,2})\cdot(B_{2,1}+B_{2,2}=\begin{pmatrix}60 & 84\\15 & 21\end{pmatrix})

Danach kann man die 4 Teilmatrizen von C durch Addition bzw. Subtraktion berechnen.

C_{1,1}=M_1 + M_4 - M_5 + M_7=\begin{pmatrix}83 & 133\\75 & 94\end{pmatrix}\\ C_{1,2}=M_3 + M_5=\begin{pmatrix}106 & 83\\93 & 64\end{pmatrix}\\ C_{2,1}=M_2 + M_4=\begin{pmatrix}56 & 89\\67 & 73\end{pmatrix}\\ C_{2,2}=M_1 - M_2 + M_3 + M_6=\begin{pmatrix}125 & 86\\77 & 54\end{pmatrix}

Durch Zusammensetzen der Teilmatrizen zur Ergebnismatrix C ergibt sich das Ergebnis der Rechnung:

C=\begin{pmatrix}C_{1,1} & C_{1,2}\\C_{2,1} & C_{2,2}\end{pmatrix}= \underline{\underline{\begin{pmatrix} 83 & 133 & 106 & 83\\ 75 & 94 & 93 & 64\\ 56 & 89 & 125 & 86\\ 67 & 73 & 77 & 54 \end{pmatrix}}}