Aufgaben Lösung

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Lösungen zu den Übungsaufgaben


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Multiplikation großer ganzer Zahlen nach KARATSUBA und OFMAN

Schnelle Matrixmultiplikation nach STRASSEN

Gegeben sind die zwei Matrizen A und B mit:

A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 8 & 9\\ 1 & 5 & 9 & 2\\ 5 & 7 & 4 & 3\\ 2 & 3 & 8 & 1 \end{pmatrix} und

B=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 8 & 6\\ 1 & 4 & 9 & 5\\ 7 & 6 & 4 & 3\\ 2 & 9 & 2 & 3 \end{pmatrix}

Die Matrizen zerlegt man nach folgendem Muster in Teilmatrizen:


C=A\cdot B= \begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{1,2}\\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} B_{1,1} & B_{1,2}\\ B_{2,1} & B_{2,2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} C_{1,1} & C_{1,2}\\ C_{2,1} & C_{2,2} \end{pmatrix}

Daraus ergeben sich die 8 Teilmatrizen:

A_{1,1}=\begin{bmatrix}3 & 4\\1 & 5\end{bmatrix}\text{, } A_{1,2}=\begin{bmatrix}8 & 7\\9 & 2\end{bmatrix}\text{, } A_{2,1}=\begin{bmatrix}5 & 7\\2 & 3\end{bmatrix}\text{, } A_{2,2}=\begin{bmatrix}4 & 3\\8 & 1\end{bmatrix}\\ B_{1,1}=\begin{bmatrix}3 & 2\\1 & 4\end{bmatrix}\text{, } B_{1,2}=\begin{bmatrix}8 & 6\\9 & 5\end{bmatrix}\text{, } B_{2,1}=\begin{bmatrix}7 & 6\\2 & 9\end{bmatrix}\text{, } B_{2,2}=\begin{bmatrix}4 & 3\\2 & 3\end{bmatrix}

Damit lassen sich M_{1} bis M_{7} berechnen:


M_{1}=(A_{1,1}+A_{2,2})\cdot(B_{1,1}+B_{2,2})\\ M_{2}=(A_{2,1}+A_{2,2})\cdot B_{1,1}\\ M_{3}=A_{1,1}\cdot(B_{1,2}-B_{2,2})\\ M_{4}=A_{2,2})\cdot (B_{2,1}-B_{1,1})\\ M_{5}=(A_{1,1}+A_{1,2})\cdot B_{2,2}\\ M_{6}=(A_{2,1}-A_{1,1})\cdot(B_{1,1}+B_{1,2})\\ M_{7}=(A_{1,2}-A_{2,2})\cdot(B_{2,1}+B_{2,2})


Danach kann man die 4 Teilmatrizen von C durch Addition bzw. Subtraktion berechnen.


C_{1,1}=M_1 + M_4 - M_5 + M_7\\ C_{1,2}=M_3 + M_5\\ C_{2,1}=M_2 + M_4\\ C_{2,2}=M_1 - M_2 + M_3 + M_6

Durch Zusammensetzen der Teilmatrizen zur Ergebnismatrix C ergibt sich das Ergebnis der Rechnung:

C=\begin{pmatrix}C_{1,1} & C_{1,2}\\C_{2,1} & C_{2,2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 68 & 21 & -70 & -13\\ 64 & 13 & -38 & -32\\ 5 & -13 & -30 & 71\\ 38 & -22 & -4 & -29 \end{pmatrix}