Python-Die Eulersche Zahl

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Inhaltsverzeichnis

1 Die Eulersche Zahl als Kettenbruch
- 1.1 Iterative Implementierung
2 Euler-Zufall 1
- 2.1 Simulation
3 Euler-Zufall 2
- 3.1 Simulation
4 Das Rosinenproblem
- 4.1 Simulation
5 Das Münzenproblem
- 5.1 Simulation
6 Das Sekretärinnenproblem
- 6.1 Simulation

Es gilt: e = 2,718~281~828~459~045~235~360~287~471~352~...

Die Eulersche Zahl als Kettenbruch

Die Eulersche Zahl lässt sich mit einem Kettenbruch schnell annähern.

Kettenbruchdarstellung der Eulerschen Zahl

Iterative Implementierung

def e_iterativ(n):
  e = 0
  for i in range(n, 1, -1):
    e = i / (e + i)
  return 2 + e

print(e_iterativ(10))

Euler-Zufall 1

Wie oft müssen Zufallszahlen aus dem Intervall [0, 1] gebildet werden, damit die Summe zum ersten Mal 1 überschreitet?

Simulation

from random import *
from math import exp

def eulerzufall1(n):
  m = 0
  for i in range(n):
    z = 0; j = 0
    while z < 1:
      z += random()
      j += 1
    m += j
  return m / n

def eulerzahl1(n):
  print("Eulerzahl: %1.8f" % eulerzufall1(n))
  print("Zum Vergleich: e = %1.8f" % exp(1))

eulerzahl1(20000)

Euler-Zufall 2

Eine Folge von Zahlen wird zufällig aus dem Intervall [0, 1] erzeugt.
Der Prozess wird so lange fortgesetzt, wie die Folge monoton steigend ist.
Welche Länge der monotonen Folge wird erwartet?

Simulation

from random import *
from math import exp

def eulerzufall2(n):
  m = 0
  for i in range(n):
    z0 = 0; z = random()
    j = 1
    while z0 < z:
      z0 = z
      z = random()
      j += 1
    m += j
  return m / n

def eulerzahl2(n):
  print("Eulerzahl: %1.8f" % eulerzufall2(n))
  print("Zum Vergleich: e = %1.8f" % exp(1))

eulerzahl2(200000)

Das Rosinenproblem

In den Teig für 100 Brötchen werden zufällig 100 Rosinen hinengeknetet.
Wie viele Brötchen enthalten mindestens eine Rosine?

Simulation

from random import *
from math import exp

def rosinen(n):
  r = [randint(0, n - 1) for i in range(n)]
  z = 0
  for j in range(n):
    k = 0
    for i in range(n):
      if r[i] == j: k = 1; break
    z += k
  return z / n

def rosinenproblem(m):
  z = 0
  for i in range(m):
    z += rosinen(100)
  mw = z / m
  print("Mittelwert: %1.8f" % mw)
  ew = 1 - 1 / exp(1)
  print("Zum Vergleich: 1 - 1/e = %1.8f" % ew)

rosinenproblem(1000)

Das Münzenproblem

Eine Fastfood-Kette verschenkt bei jedem Einkauf eine Münze eines 50-teileigen Satz von Sondermünzen.
Ziel ist es, den gesamten Münzsatz zu sammeln.
Welchen Bruchteil des kompletten Münzsatzes würde man nach 50 Einkäufen erwarten?

Simulation

from random import *
from math import exp

def auswahl(n):
  muenzen = [i for i in range(n)]
  pos = randint(0, n - 1)
  return muenzen[pos]

def muenzenproblem(n, anz):
  sum = 0
  for j in range(anz):
    set = []
    for i in range(n):
      muenze = auswahl(n)
      if not (muenze in set):
        set.append(muenze)
    sum += len(set) / n
  h = sum / anz
  print("Relative Häufigkeit: %1.8f" % h)
  vw = 1 - 1 / exp(1)
  print("Zum Vergleich: 1 - 1 / e = %1.8f" % vw)

muenzenproblem(50, 100)

Das Sekretärinnenproblem

Für eine Sekretärinnenstelle gibt es n Bewerberinnen.
Die ersten k Bewerberinnen werden zwar angehört, aber allesamt abgelehnt.
Die Gespräche werden fortgeführt und die Kandidatin eingestellt, die besser als alle Vorgängerinnen ist. Solle es keine bessere geben, muss die letzte Bewerberin eingestellt werden.
Bei welcher Anzahl k ist die Wahrscheinlichkeit am größten, die beste Bewerberin einzustellen?

Simulation

from random import *
from math import exp

def auswahl(n, k):
  bewliste = [random() for i in range(n)]
  bewteilliste = []
  for i in range(k):
    bewteilliste.append(bewliste[i])
  maxwert = max(bewliste)
  bestwert = max(bewteilliste)
  kandidat = 0
  while kandidat < bestwert and k < n:
    kandidat = bewliste[k]
    k += 1
  if kandidat == maxwert:
    return 1
  else:
    return 0

def sekretaerinnenproblem(n, k, anz):
  z = 0
  for i in range(anz):
    z += auswahl(n, k)
  h = z / anz
  print("Relative Häufigkeit: %1.8f" % h)
  vw = 1 / exp(1)
  print("Zum Vergleich: 1/e = %1.8f" % vw)

sekretaerinnenproblem(100, 37, 2500)

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Die Eulersche Zahl als Kettenbruch

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Euler-Zufall 1

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Euler-Zufall 2

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