Python-Die Eulersche Zahl

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Inhaltsverzeichnis

1 Euler-Zufall 1
- 1.1 Simulation
2 Euler-Zufall 2
- 2.1 Simulation
3 Das Rosinenproblem
- 3.1 Simulation
4 Das Münzenproblem
- 4.1 Simulation

Euler-Zufall 1

Wie oft müssen Zufallszahlen aus dem Intervall [0, 1] gebildet werden, damit die Summe zum ersten Mal 1 überschreitet?

Simulation

from random import *
from math import exp

def eulerzufall1(n):
  m = 0
  for i in range(n):
    z = 0; j = 0
    while z < 1:
      z += random()
      j += 1
    m += j
  return m / n

def eulerzahl1(n):
  print("Eulerzahl: %1.8f" % eulerzufall1(n))
  print("Zum Vergleich: e = %1.8f" % exp(1))

eulerzahl1(20000)

Euler-Zufall 2

Eine Folge von Zahlen wird zufällig aus dem Intervall [0, 1] erzeugt.
Der Prozess wird so lange fortgesetzt, wie die Folge monoton steigend ist.
Welche Länge der monotonen Folge wird erwartet?

Simulation

from random import *
from math import exp

def eulerzufall2(n):
  m = 0
  for i in range(n):
    z0 = 0; z = random()
    j = 1
    while z0 < z:
      z0 = z
      z = random()
      j += 1
    m += j
  return m / n

def eulerzahl2(n):
  print("Eulerzahl: %1.8f" % eulerzufall2(n))
  print("Zum Vergleich: e = %1.8f" % exp(1))

eulerzahl2(200000)

Das Rosinenproblem

In den Teig für 100 Brötchen werden zufällig 100 Rosinen hinengeknetet.
Wie viele Brötchen enthalten mindestens eine Rosine?

Simulation

from random import *
from math import exp

def rosinen(n):
  r = [randint(0, n - 1) for i in range(n)]
  z = 0
  for j in range(n):
    k = 0
    for i in range(n):
      if r[i] == j: k = 1; break
    z += k
  return z / n

def rosinenproblem(m):
  z = 0
  for i in range(m):
    z += rosinen(100)
  mw = z / m
  print("Mittelwert: %1.8f" % mw)
  ew = 1 - 1 / exp(1)
  print("Zum Vergleich: 1 - 1/e = %1.8f" % ew)

rosinenproblem(1000)

Das Münzenproblem

Eine Fastfood-Kette verschenkt bei jedem Einkauf eine Münze eines 50-teileigen Satz von Sondermünzen.
Ziel ist es, den gesamten Münzsatz zu sammeln.
Welchen Bruchteil des kompletten Münzsatzes würde man nach 50 Einkäufen erwarten?

Simulation

from random import *
from math import exp

def auswahl(n):
  muenzen = [i for i in range(n)]
  pos = randint(0, n - 1)
  return muenzen[pos]

def muenzenproblem(n, anz):
  sum = 0
  for j in range(anz):
    set = []
    for i in range(n):
      muenze = auswahl(n)
      if not (muenze in set):
        set.append(muenze)
    sum += len(set) / n
  h = sum / anz
  print("Relative Häufigkeit: %1.8f" % h)
  vw = 1 - 1 / exp(1)
  print("Zum Vergleich: 1 - 1 / e = %1.8f" % vw)

muenzenproblem(50, 100)

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Euler-Zufall 1

Simulation

Euler-Zufall 2

Simulation

Das Rosinenproblem

Simulation

Das Münzenproblem

Simulation

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