Vorlesung 2 Grüning

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Archivierte Version vom 2021-03-27T14:12:34+00:00. Aktuelle Version

Absolute Unlösbarkeit

Seite 7

(define f
  (lambda (n)
    (if (= n 1)
        1
        (if (even? n)
            (+ (f (/ n 2)) 1)
            (/ 1 (f (- n 1)))
            )
        )
    )
  )

(f 1)

(define f^-
  (lambda (n)
    (if (= n 1)
        1
        (if (> n 1)
            (* (f^- (- n 1)) 2)
            (+ (f^- (/ 1 n)) 1)
            )
        )
    )
  )

(f^- 1)

Überabzählbar unendlich

Seite 11

z.z: \mathbf{R} ist überabzählbar unendlich

Beweis: Widerspruch mit Cantorsches Diagonalisierungsverfahren 2. Art

Annahme: \mathbf{R} ist abzahlbar unendlich

Listen aller rellen Zahlen r_n:


\|\| s1 \|\| s2 \|\| s3 \|\| s4 \|\| ...
r1 0.	\textbf{1}	4	1	5	...
r2 0.	7	\textbf{1}	8	2	...
r3 0.	6	1	\textbf{8}	0	...
r4 0.	4	1	4	\textbf{2}	...
...	...	...	...	...	...

Wahl der Ziffern auf der Diagonalen und Zusammenstellen einer neuen Zahl mit den entsprechenden Stellen s_n aus der Tabelle. r_comp = 0.1182...

Dabei werden die Ziffern abgeändert wobei jede 1 zu einer 2 wird und jede andere Ziffer zu einer 1. r_new = 0.2211...

Dadurch unterscheidet sich diese neue Zahl von jeder aufgelisteten, da sie sich von r1 an der ersten Stelle unterscheidet, von r2 an der 2. Stelle usw..

Hilbert Hotel

(define stream-car car)

(define stream-cdr
  (lambda (stm)
    (force (cdr stm))))

(define-macro (stream-cons head tail)
  `(cons ,head (delay ,tail)))

(define stream?
  (lambda (stm)
    (and (pair? stm) (promise? (cdr stm)))))

(define stream-map
  (lambda (proz stm)
    (stream-cons (proz (stream-car stm)) (stream-map proz (stream-cdr stm)))))

(define show-stream
  (lambda (stm n)
    (letrec
        ([show
          (lambda (stm n ls)
            (if (= n 0)
                (apply display (append ls (list "...")))
                (show (stream-cdr stm) (- n 1) (append ls (list (stream-car stm) ", ")))))])
      (show stm n ()))))

(define zeige-mir show-stream)

(define baue-hilberthotel
  (lambda ()
    (stream-cons #f (baue-hilberthotel)))
  )

(define hilberthotel (baue-hilberthotel))

(zeige-mir hilberthotel 11)

(define einzelbuchung
  (lambda (val stm pos)
    (let ([old-pos pos])
      (letrec
          ([shorten
            (lambda (val stm pos)
              (if (= pos 0)
                  (if (eq? #f (stream-car stm))
                      (stream-cons val (stream-cdr stm))
                      (raise (string-append (number->string old-pos) " schon belegt mit: " (stream-car stm))))
                  (stream-cons (stream-car stm) (shorten val (stream-cdr stm) (- pos 1)))
                  ))
            ])
        (shorten val stm pos)
        )
      )
    )
  )

(set! hilberthotel (einzelbuchung "Otto Grundmann" hilberthotel 3))
(zeig-mir hilberthotel 12)

(define baue-kleinbus
  (lambda (numb pers)
    (list numb pers)))


(define kleinbus815 (baue-kleinbus 815 8))

(zeig-mir kleinbus815)

(define kleingruppenbuchung
  (lambda (hotel finite-bus)
    (letrec
        ([helper
          (lambda (hotel finite-bus pos)
            (if (not (empty? finite-bus))
                (helper (einzelbuchung (car finite-bus) hotel pos) (+ pos 1))
                (hotel)
                )
            )
          ])
      (hotel finite-bus 0)
      )
    )
  )

(set! hilberthotel (kleingruppenbuchung kleinbus815 hilberthotel))

(zeig-mir hilberthotel 12)

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