Projekt Zahlenfolgen

Einführung

Unter einer unendlichen Zahlenfolge verstehen wir eine Funktion, deren Defintionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen ist.
Damit bieten sich Streams zur Repräsentation dieser Zahlenfolgen im Computer an.
Wir können uns davon überzeugen, dass die erforderlichen Stream-Sprachelemente sowie der Stream natürlicher Zahlen bereits definiert sind:

Nun wollen wir arithmetische, geometrische sowie weitere ausgewählte Zahlenfolgen aufstellen und untersuchen.

Beispiel

Gegeben ist eine Zahlenfolge (e_n) mit der nachfolgenden expliziten Bildungsvorschrift:

e_n=(1+\frac{1}{n})^n\hspace{0.3em},\hspace{0.3em}\mbox{für}\hspace{0.3em}n=1, 2, 3, ...

In einfacher Weise definieren wir diese explizite Bildungsvorschrift als Prozedur, um sie mit stream-map auf die Elemente des Streams natürlicher Zahlen anzuwenden.
Hinweis: Der Startindex für die natürlichen Zahlen muss hier 1 betragen!

Um diese Zahlenfolge besser analysieren zu können, wollen wir sie in einem Balkendiagramm visualisieren. Dazu muss die Syntax der Prozedur balkendiagramm für den Gebrauch von Streams angepasst werden:

(balkendiagramm <stm> <anz>) ; <stm> ... Stream mit Zahlenwerten
                             ; <anz> ... Anzahl der darzustellenden Elemente</anz></stm></anz></stm>

Es ist anzunehmen, dass die Zahlenfolge (e_n) konvergiert.
Deshalb wäre auch ein Werkzeug zur Suche von Grenzwerten beliebiger Zahlenfolgen wünschenswert.

Aufgaben

1. Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen

   Implementieren Sie als Streams arithmetische oder geometrische Zahlenfolgen, die sowohl in einer rekursiven Bildungsvorschrift mit dem Anfangsglied a_1 als auch in einer expliziten Bildungsvorschrift gegeben sein können:

   	arithmetische Zahlenfolgen	geometrische Zahlenfolgen
   rekursive Bildungsvorschrift	a_{n+1}=a_n+d \hspace{0.3em}, \hspace{0.3em} \mbox{mit} \hspace{0.3em} a_1	a_{n+1}=a_n \cdot q \hspace{0.3em}, \hspace{0.3em} \mbox{mit} \hspace{0.3em} a_1
   explizite Bildungsvorschrift	a_n=a_1+(n-1) \cdot d \hspace{0.3em}, \hspace{0.3em} \mbox{für} \hspace{0.3em} n=1,2,3,...	a_n=a_1 \cdot q^{n-1} \hspace{0.3em}, \hspace{0.3em} \mbox{für} \hspace{0.3em} n=1,2,3,...

   Neben der Ausgabe mit show-stream soll es zwei weitere Ausgabeprozeduren geben, die

   • das n-te Folgenglied sowie
   • die Summe aller Glieder bis zum n-ten Folgenglied

   zurückgeben.

2. Spezielle Zahlenfolgen

   Gegeben sind Zahlenfolgen mit den nachfolgenden Beschreibungen:

   rekursive Beschreibung	$ (gs_1):\hspace{0.3em}1, \frac{1}{1+1}, \frac{1} {1+ \frac{1}{1+1}}, \frac{1} {1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+1}}}, ... $
   	$ (gs_2):\hspace{0.3em} \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2+ \frac{1}{\sqrt{2}}}}, \frac{1}{\sqrt{2+ \frac{1}{\sqrt{2+ \frac{1}{\sqrt{2}}}}}}, ... $
   explizite Beschreibung	z_n=\frac{1}{n!} \hspace{0.3em}, \hspace{0.3em}\mbox{für} \hspace{0.3em} n=0,1,2,...
   	f_n=\frac{\mbox{fibo}(n)}{\mbox{fibo}(n+1)} \hspace{0.3em}, \hspace{0.3em} \mbox{für} \hspace{0.3em} n=1,2,3,...

   Implementieren Sie je eine der beiden rekursiv bzw. explizit beschriebenen Zahlenfolgen.

3. Grenzwert einer Zahlenfolge

   Schreiben Sie eine Prozedur, die den Grenzwert einer Zahlenfolge (mit beliebiger Genauigkeit) ermittelt, falls dieser existiert.
   Hinweis: Die Prozedur zur Grenzwertbestimmung könnte folgende Struktur haben:

   (grenzwert <stm> <eps> <min> <max>) 
   
   <stm> ... Zahlenfolge als Stream
   <eps> ... Epsilon-Umgebung als hinreichend kleiner Wert, der über die Konvergenz entscheidet
   <min> ... Anzahl von Folgengliedern, die bei Konvergenz in der Epsilon-Umgebung liegen müssen
   <max> ... maximale Anzahl von Folgengliedern, bei deren Überschreitung
             die Divergenz der Zahlenfolge vermutet und #f zurückgegeben wird</max></min></eps></stm></max></min></eps></stm>

   Wenden Sie diese Prozedur auf die implementierten Zahlenfolgen an.

4. Zusatzaufgabe

   Die Partialsummenfolge (s_n) einer Zahlenfolge (a_n) enthält die Teilsummen, die aus den Folgengliedern a_n gebildet werden. Es gilt:
   

   (s_n):\hspace{0.3em}s_1, s_2, s_3, ...\hspace{0.6em}\mbox{mit}\hspace{0.3em} s_n=\sum\limits_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+a_3+ ... +a_n

   Implementieren Sie eine entsprechende Prozedur.
   Ermitteln Sie den Grenzwert der Partialsummenfolge von (z_n) aus Aufgabe 2.

Allgemeine Hinweise zum Projekt

• Die Implementation der Zahlenfolgen sowie aller erforderlichen Prozeduren soll unter DrRacket erfolgen.
• Sie können dazu die Datei zahlenfolgen_vorlage.rkt (Sprache: racket) im Archiv Zahlenfolgen.zip nutzen, in der die Stream-Sprachelemente sowie die Prozeduren zur grafischen Darstellung im Balkendiagramm definiert sind.
• Zur Interaktion kann der vorgegebene einfache Bildschirmdialog weiterentwickelt werden.

Lösungen

Hier sind ausgewählte Schülerlösungen (2021) zusammengestellt.
Sie sollen Anregungen für eigene Implementationen liefern und keine effizienten Musterlösungen darstellen.