Fraktale

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Die vielleicht berühmteste fraktale Struktur: Das Apfelmännchen

Der Begriff Fraktal (lat. fractus "gebrochen") geht auf den französisch-US-amerikanischen Mathematiker Benoît Mandelbrot (* 20. November 1924; † 14. Oktober 2010) zurück. Mit ihm werden natürliche oder künstliche Gebilde bzw. geometrische Muster bezeichnet, die einen hohen Grad an Selbstähnlichkeiten aufweisen.

Hinweis: Zur Implementation fraktaler Figuren stehen Ihnen auch hier die Sprachelemente der Turtle-Grafik zur Verfügung.

Das Sierpinski-Dreieck

Diese selbstähnliche Figur ist nach dem polnischen Mathematiker Wacław Franciszek Sierpiński (* 14. März 1882; † 21. Oktober 1969) benannt. Die nachfolgende Abbildung zeigt die Konstruktion dieses Dreiecks:

Implementation:

(define dreieck
  (lambda (turtle len)
    ...))

(define sierpinski
  (lambda (turtle len n) 
    (if (= n 1)
        (dreieck turtle len)
        (begin               
          ...))))

(define sierpinski-dreieck
  (lambda (len n)
    (clear canvas1)
    (move turtle1 100 300)
    ...))

(sierpinski-dreieck 300 6)

Die Koch-Schneeflocke

Der schwedische Mathematiker Helge von Koch (* 25. Januar 1870; † 11. März 1924) stellte im Jahr 1904 einen stetigen Graphen vor, der an keiner Stelle differenzierbar ist. Die sogenannte Koch-Schneeflocke setzt sich aus drei dieser Koch-Kurven zusammen, die auf den Seiten eines gleichseitigen Dreiecks angeordnet sind:

Implementation:

(define koch
  (lambda (turtle len n)
    (if (= n 1)
	(forward turtle len)
        (begin
          ...))))

(define koch-schneeflocke
  (lambda (len n)
    (clear canvas2)
    (move turtle2 150 270)
    ...))

(koch-schneeflocke 300 6)

Die Peano-Kurve

Der italienische Mathematiker Giuseppe Peano (* 27. August 1858; † 20. April 1932) konstruierte eine raumfüllende Kurve, die mit zunehmender Rekursionstiefe punktweise konvergiert.

Implementation:

(define kurve
  (lambda (turtle vz len)
    (forward turtle (/ (* 2 len) 3))
    (right turtle (* vz 90))
    (forward turtle (/ len 3))
    (right turtle (* vz 90))
    (forward turtle (/ (* 2 len) 3))
    (left turtle (* vz 90))
    (forward turtle (/ len 3))
    (left turtle (* vz 90))
    (forward turtle (/ (* 2 len) 3))))

(define peano
  (lambda (turtle vz len n) 
    (if (= n 1)
        (kurve turtle vz len)
        (begin               
          (peano turtle vz (/ len 3) (- n 1))
          (forward turtle (/ len (expt 3 n)))
          (peano turtle (- vz) (/ len 3) (- n 1))
          (forward turtle (/ len (expt 3 n)))
          (peano turtle vz (/ len 3) (- n 1))
          (right turtle 90) (forward turtle (* vz (/ len (expt 3 n)))) (right turtle 90)
          (peano turtle (- vz) (/ len 3) (- n 1))
          (forward turtle (/ len (expt 3 n)))
          (peano turtle vz (/ len 3) (- n 1))
          (forward turtle (/ len (expt 3 n)))
          (peano turtle (- vz) (/ len 3) (- n 1))
          (left turtle 90) (forward turtle (* vz (/ len (expt 3 n)))) (left turtle 90)
          (peano turtle vz (/ len 3) (- n 1))
          (forward turtle (/ len (expt 3 n)))
          (peano turtle (- vz) (/ len 3) (- n 1))
          (forward turtle (/ len (expt 3 n)))
          (peano turtle vz (/ len 3) (- n 1))))))

(define peano-kurve
  (lambda (len n)
    (clear canvas3)
    (move turtle3 40 340)
    (peano turtle3 1 len n)))

(peano-kurve 300 3)

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