IIm18-Vorlesung1
Ausgewählte mathematische Grundlagen
Aufgabe 3
Für die folgende Implikation ist die zugehörige Wahrheitstafel aufzustellen.
Implikation: \lnot B \land (A \rightarrow B) \Rightarrow \lnot A
| | A | B | \lnot A | \lnot B | A \rightarrow B | \lnot B \land (A \rightarrow B) | \lnot B \land (A \rightarrow B) \Rightarrow \lnot A |
| | w | w | f | f | w | f | w |
| | w | f | f | w | f | f | w |
| | f | w | w | f | w | f | w |
| | f | f | w | w | w | w | w |
Aufgabe 6
Für die folgenden logischen Ausdrücke sollen durch Wahrheitstafeln auf Richtigkeit überprüft werden.
Kontraposition: (A \rightarrow B) \Leftrightarrow ( \lnot B \rightarrow \lnot A)
| | A | B | \lnot A | \lnot B | A \rightarrow B | \lnot B \rightarrow \lnot A | (B \rightarrow A) \Leftrightarrow ( \lnot B \rightarrow A) |
| | w | w | f | f | w | w | w |
| | w | f | f | w | f | f | w |
| | f | w | w | f | w | w | w |
| | f | f | w | w | w | w | w |
Die Wahrheitstafel zeigt die Tautologie des logischen Ausdrucks der Kontraposition. Somit ist nachgewiesen, dass der Ausdruck richtig.
Widerspruchsbeweis: (A \rightarrow B) \Leftrightarrow (A \land \lnot B \rightarrow f)
| | A | B | \lnot B | A \rightarrow B | A \land \lnot B | (A \rightarrow B) \Leftrightarrow (A \land \lnot B) |
| | w | w | f | w | f | f |
| | w | f | w | f | w | f |
| | f | w | f | w | f | f |
| | f | f | w | w | f | f |
Da die Implikation A \Rightarrow B logisch äquivalent zu der Aussage \lnot A\lor B ist, lässt sich einfach anhand einer Wahrheitstafel zeigen. Demzufolge ist \lnot (A \Rightarrow B) ebenfalls logisch äquivalent zu A \land \lnot B. Somit kann die Implikation A \Rightarrow B durch die Widerlegung der Aussage A \land \lnot B bewiesen werden.
Die Wahrheitstafel zeigt genau diesen Sachverhalt, was die Richtigkeit des logischen Ausdrucks des Widerspruchsbeweis bestätigt.