Verzögerte Evaluation und Streams-Loesung
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Hilfsprozeduren
Die folgende Tabelle zeigt Ihnen Hilfsprozeduren, die Ihnen bei der Arbeit mit streams helfen. Machen Sie sich mit diesen Prozeduren vertraut.
| Bezeichnung | Parameter | Beschreibung |
|---|---|---|
| stream-car | stream | Äquivalent zu car nur für streams |
| stream-cons | stream | Äquivalent zu car nur für streams |
| stream? | parameter | Testet ob der parameter ein Stream ist |
| make-stream | seed proc | gibt einen neuen stream mit den Anfngswert seed und der zu funktion proc zum berechnen der Folgeglieder |
| stream->list | stream n | gibt eine Liste der ersten n Glieder des Streams |
| stream-item | stream n | gibt das n. Element eines Streams aus |
| stream-map | funktion stream | gibt einen Stream zurück bei dem die Funktion auf alle glieder des Streams angewendet wird |
Des Weiteren sind folgende Definitionen als Hilfestellung gegeben:
<eval id="4b04f53cbf599">(stream->list integers 10)</eval>
Delay und Force
Machen Sie sich mit den Sprachelementen delay und force vertraut. Diskutieren Sie zu zweit darüber, warum streams in Scheme als Paare dargestellt werden, und erläutern Sie die Verbindung zu den oben genannten Sprachelementen.
Schreiben Sie eine Prozedur stream+, welche zwei streams mit Zahlen als Parameter nimmt und deren Werte paarweise bis zum n-ten Element addiert und als Liste zurückgibt.
Aufrufbeispiel: > (stream->list (stream+ integers integers) 5) 0, 2, 4, 6, 8, ...
<eval id="4b04f53cbfd67">(stream->list (stream+ integers integers) 5) 0, 2, 4, 6, 8, ... </eval>
Zahlenfolgen
In den folgenden Aufgaben wird es um Zahlenfolgen gehen. Folgende zwei Zahlenfolgen sind gegeben:
(a von n)
$(a_{n})=\frac{1}{\sqrt{2 + \textcolor{red} {0}}}, {\frac{1}{\sqrt{2 + {\frac{1}{\sqrt{2 + 0}}} }}}, {\frac{1}{\sqrt{2 + {\frac{1}{\sqrt{2 + \frac{1}{\sqrt{2 + 0 }}} }}} }}$(b von n)
$(b_{n})=\frac{1}{\sqrt{1 + \color{red} {0}}}, {\frac{1}{1 + {\frac{1}{1 + 0}} }}, {\frac{1}{1 + {\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + 0 }}} } }$Es gibt in diesen Zahlenfolgen einen “Fortschritt”. Versuchen Sie das Erzeugungsmuster nachzuvollziehen.
Hinweis: aus eigener Erfahrung weiß ich, dass es oft hilfreich ist beim Programmieren einen Zettel und einen Stift parat zu haben, um sich einige Gedankengänge zu notieren (es kommt manchmal vor, dass man eine gute Idee hat und eine Minute später wieder vergessen hat)!
Implementation
Implementieren Sie nun die beiden Zahlenfolgen von oben in Scheme mit Hilfe von Streams und Rekursion.
Aufrufbeispiel für $(a_{n}):
> (define an (an-stream-maker 0))) > (stream->list an 5) 0.7071067811865475, 0.6077812620656623, 0.6192477250610301,0.6178907764054561, 0.6180508933676908, ...
<eval id="4b04f53cc055a"> (define an (an-stream-maker 0))) (stream->list an 5) </eval>
Aufrufbeispiel für $(a_{n}):
> (define bn (bn-stream-maker 0))) > (stream->list bn 5) 1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, ...
<eval id="4b04f53cc0d2d"> (define bn (bn-stream-maker 0))) (stream->list bn 5) </eval>
grenzwert
Schreiben Sie eine Prozedur grenzwert, die den Grenzwert einer Zahlenfolge bestimmt. Diese soll wie folgt aussehen:
( grenzwert stm eps max )
Genauer gesagt soll diese Prozedur den Grenzwert einer als Stream repräsentierten Zahlenfolge stm zurückgeben, wenn dieser innerhalb einer hinreichend kleinen ε- Umgebung (eps) liegt. Falls nicht max Folgenglieder in dieser ε-Umgebung liegen, wird Divergenz vermutet und #f zurückgegeben.
Ermitteln und vergleichen Sie die Grenzwerte der Zahlenfolgen (a_{n}) und (b_{n} ).
<eval id="4b04f53cc149c">(grenzwert an 1/100 10)</eval> <eval id="4b04f53cc1ce6">(grenzwert bn 1/100 10)</eval>
Testen Sie ihre Grenzwert-Prozedur wenigstens mit folgenden Aufrufbeispielen. (Dabei wird nicht erwartet, dass Sie die Definition von tf wirklich verstehen):
<eval id="4b04f53cc249b">(grenzwert tf 1/110 10)</eval> <eval id="4b04f53cc2c6c">(grenzwert tf 1/110 9)</eval> <eval id="4b04f53cc3453">(grenzwert tf 1/111 11)</eval> <eval id="4b04f53cc3b91">(grenzwert tf 1/111 10)</eval>
Zahlenfolge
Erstellen sie einen STream der folgende Zahlenfolge implementiert:
$(e_{n})=\frac{1}{0!},\frac{1}{1!},\frac{1}{2!},\frac{1}{3!},\frac{1}{4!},\frac{1}{5!},...,\frac{1}{n!}$Hinweis: 0! = 1
Aufrufbeispiel für $(e_{n})
> (define en (en-stream-maker 0))) > (stream->list en 5) 11, 1, 1/2, 1/6, 1/24, ...
<eval id="4b04f53cc43be">(define en (en-stream-maker 0)) (stream->list en 5)</eval>
Pasu Stream
Schreiben Sie anschließend eine Prozedur pasu-stream, die eine Zahlenfolge als Stream nimmt und die zu dieser Zahlenfolge gehörende Partialsummenfolge als Stream zurückgibt. Falls diese Partialsummenfolge konvergiert, entspricht ihr Grenzwert der Summe der unendlichen Reihe
\sum^\infty \limits_{i=0}\frac{1}{i!}=\frac{1}{0!},\frac{1}{1!},\frac{1}{2!},\frac{1}{3!}...Aufrufbeispiel:
> (stream->list (pasu-stream en) 5) 1, 2, 5/2, 8/3, 65/24, ...
<eval id="4b04f53cc507d"> (stream->list (pasu-stream en) 5)</eval>
Mit Hilfe der Prozeduren grenzwert und pasu-stream kann nun die Summe einer Reihe ermittelt werden. <eval id="4b04f53cc5b25">(grenzwert (pasu-stream en) 1/10 10)</eval> <eval id="4b04f53cc6300">(grenzwert (pasu-stream en) 1/100 10)</eval> <eval id="4b04f53cc6a69">(grenzwert (pasu-stream en) 1/1000 10)</eval>