09.01.16 - hab mal versucht nen roten faden für die aufteilung zu finden - es muss alles noch bearbeitet werden - müssen die nächsten tage mal wegen der Vortragsaufteilung/Gliederung sprechen - evtl habt ihr ja noch ideen was noch rein kann/muss - ich würde gern den abschnitt matroide/unabhängigkeitssysteme machen

Greedy-Algorithmen

ca 15min-20min ---was sind greedy algorithmen? ---Wie ist der allgemeine Aufbau? ---Template zeigen und auf Bsp anwenden ---evtl Beispiele für extremfälle vorstellen-globales optimum, lokales optimum, fall in dem der greedy algorithmus versagt

Greedy-Algorithmen oder auch gierige Algorithmen zeichnen sich dadurch aus, dass sie schrittweise und ohne zurückzusetzen, eine Lösung aufbauen indem sie anhand lokaler Informationen den Folgezustand auswählen, welcher zum Zeitpunkt der Wahl das beste Ergebnis verspricht. Es werden dabei nicht mehr Teillösungen konstruiert als unbedingt nötig.

Greedy-Algorithmen sind oft schnell, lösen viele Probleme aber nicht optimal.

Aufbau

Im Allgemeinen besteht ein Greedy-Algorithmus aus folgenden Bestandteilen:

1. eine sich verbrauchende Kandidatenliste
2. eine sich aufbauende Resultatliste
3. Funktionen
   • loesung?, die kontrolliert, ob die aktuelle Resultatliste eine Lösung des Problems darstellt
   • okay?, die kontrolliert, ob die Erweiterung einer Resultatliste durch den nächsten Kandidaten zulässig ist
   • ziel, die den Wert einer Lösung angibt
4. Auswahlfunktion
   • nächster, die aus der Kandidatenliste den jeweils besten "Happen" auswählt
5. Modifikationsfunktionen
   • modify+, die die Kandidatenliste im positiven Fall, also wenn die Erweiterung zu einer zulässigen Liste führt, modifiziert
   • modify-, die die Kandidatenliste im negativen Fall, also wenn die Erweiterung nicht zu einer zulässigen Liste führen würde, modifiziert

Greedy Template

Bestandteile des Algorithmus:

• eine (sich verbrauchende) Kandidatenliste,
• eine (sich aufbauende) Resultatliste,
• Funktionen:
  • loesung?, die überprüft, ob die aktuelle Resultatliste eine Lösung des Problems darstellt,
  • okay?, die überprüft, ob die Erweiterung einer Resultatliste durch den nächsten Kandidaten zulässig ist,
  • naechster, die den besten Kandidaten aus der Liste auswählt,
  • modify+, die die Kandidatenliste im positiven Fall modifiziert,
  • modify-, die die Kandidatenliste im negativen Fall modifiziert,
  • ziel, die die Lösung angibt.

Anwendungsbeispiel Geldwechsel

Die Verwendung dieser Greedy-Schablone illustrieren wir am folgenden Beispiel der Prozedur geldwechsel.

Einem Kunden wird Wechselgeld herausgegeben, wobei möglichst wenige Münzen verwendet werden sollen.

• Die Kandidatenliste besteht aus allen verfügbaren Euro-Münzen (1-, 2-, 5-, 10-, 20-, 50-Cent und 1- und 2-Euro-Münzen), die wir seit 01.01.2002 zusammen mit den Euro-Scheinen in Europa als Zahlungsmittel benutzen. Die Münzen werden mit absteigendem Cent-Wert vorsortiert.
• loesung? gibt #t zurück, wenn die Summe der verwendeten Münzen genau den auszuzahlenden Betrag ergibt.
• okay? gibt an, wenn eine Menge ausgewählter Münzen okay ist, wenn deren Summe höchstens dem zu zahlenden Betrag entspricht.
• Ist dies nicht der Fall, wird dieser Wert aus der Liste der (aussichtsreichen) Kandidaten entfernt. Dies erledigt die Prozedur modify-.
• modify+ lässt die Kandidatenliste unverändert. Dadurch wird erreicht, dass sich potenziell unendlich viele Münzen jeden Wertes in der Kandidatenliste befinden, so dass jeder beliebige Restbetrag immer ausgezahlt werden kann.
• Die Prozedur naechster wählt unter den verbleibenden Münzen die jenige mit dem jeweils höchsten Wert aus, ganz gleich, ob damit der zu zahlende Betrag überschritten wird oder nicht. (Dafür gibt es ja okay?) Es wird immer das erste Element zurückgegeben, da zu jedem Zeitpunkt die Kandidatenliste absteigend sortiert ist.
• Die Funktion ziel gibt die Liste der verwendeten Münzen zurück.

Die Prozedur wird benutzt um 12,93 Euro (1293 Euro-Cent) herauszugeben.

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Globales und lokales Optimum

ca 20-25min ---Warum funktioniert der allgorithmus nur manchmal? ---Lokales Globales Optimum ---Matroide erklären

Ein Greedy-Algorithmus findet für ein Optimierungsproblem auf Unabhängigkeitssystemen genau dann die optimale Lösung, wenn die zulässigen Lösungen die unabhängigen Mengen eines Matroids sind. Sonst führt der Algorithmus lediglich zu einem lokalen Optimum.

Matroide

Unabhängigkeit

erklärung an graph, bipartitem matching, vektoren

heranführung an definition...

Beispiele

ca 15-20min ---Algorithmen aus vorangegangenen Vorträgen vorstellen und erklären warum das ergebnis ein globales Optimum ist ---evtl weitere übungen um in kleineren graphen zu erkennen ob greedy ein lokales oder globales optimum liefern wird