Färbungsprobleme
Inhaltsverzeichnis |
Färbungsprobleme
Motivation
- Einfärben einer Karte mit so wenig Farben wie möglich, wobei zwei einander angrenzende Länder nie dieselbe Farbe haben dürfen
Grundlegende Definitionen
Farbe
Ein Element c heißt Farbe, wenn gilt: c \in Cund c ist von jedem beliebigen Element c' \in Cunterscheidbar.
Aus mathematischer sowie programmiertechnischer Sicht ist es daher sinnvoll, Farben als Zahlen festzulegen. In graphischen Darstellungen sind hingegen tatsächliche Farben wesentlich geeigneter. Theoretisch jedoch ist alles als Farbe zugelassen.
Färbung
Eine Färbung ist ein Zuordnung einer Farbe zu Elementen eines Graphen. Eine Knotenfärbung zum Beispiel ordnet jedem Knoten eine Farbe zu. Insgesamt gibt es drei hauptsächliche Arten der Färbung eines Graphen:
- Knotenfärbung: jedem Knoten des Graphen wird eine Farbe zugeordnet
- Kantenfärbung: jeder Kante des Graphen wird eine Farbe zugeordnet
- Totalfärbung: sowohl jedem Knoten als auch jeder Kante wird eine Farbe zugeordnet
Desweiteren wird ausschließlich auf Knotenfärbung eingegangen. Definiert wird die Knotenfärbung (im folgenden nur Färbung) folgendermaßen:
Wenn G(V,E) ein ungerichteter Graph ohne Schleifen und Mehrfachkanten ist, dann ist f: V \to C die Färbung dieses Graphen.
Übung
Sind die folgenden Graphen nach dieser Definition korrekt gefärbt?
Eichhorn_colored_graph_1Eichhorn_colored_graph_2Eichhorn_colored_graph_3
C = \{Bothe_red_32, Bothe_blue_32, Bothe_green_32\}
Lösung
- Graph 1: Ja
- Graph 2: Nein
- Graph 3: Ja
Das Färben eines Graphen ist jedoch nicht beliebig möglich, wenn die Färbung gültig sein soll.
Wenn je zwei beliebige benachbarte Knoten nicht dieselbe Farbe haben, dann heißt die dazugehörige Färbung gültig. \forall v \in V : \forall w \in \Gamma (v) : f(v) \ne f(w), wenn \Gamma(v) die Menge aller Nachbarn von v bezeichnet.
Daraus ergibt sich auch die Notwendigkeit zu definieren, ob ich einen Graphen überhaupt gültig färben kann. Diese kann abgeleitet werden aus dem Wissen über die Gültigkeit einer Färbung.
Wenn es eine gültige Färbung f gibt, die eine Anzahl k an Farben verwendet, dann heißt der so gefärbte Graph G k-färbbar.
Übung
Finden sie eine gültige Färbung für den nachstehenden Graphen. Schätzen sie auch, wie viele Farben sie mindestens brauchen werden.
Lösung
Eine Möglichkeit:
Eichhorn_petersen_colored
Für diesen Graphen existieren 120 Färbungen mit 3 Farben.
Greedy-Algorithmus zum Färben eines Graphen
Um einen Graphen G effizient gültig einzufärben, genügt ein "gieriger" Algorithmus. Dieser wird stets eine gültige Färbung zurückgeben, garantiert jedoch nicht, dass die Färbung mit der geringstmöglichen Anzahl an Farben auskommt.
i. i. i. i. i. i.
Die chromatische Zahl
Für Anwendungsfälle sollten Färbungen mit möglichst wenig Farben auskommen. Die Mindestanzahl an benötigten Farben heißt chromatische Zahl.
Die chromatische Zahl \chi (G) ist die kleinste natürliche Zahl, für die der Graph G eine gültige Färbung mit ebensovielen Farben besitzt. Gibt es für keine Anzahl an Farben eine gültige Färbung, so ist \chi (G) = \infty
Die höchste Anzahl an benötigten Farben, um einen beliebigen, schleifenfreien Graphen einzufärben, entspricht der Anzahl der vorhandenen Knoten. Die Problem der Bestimmung der chromatischen Zahl ist jedoch Element der Menge der NP-Probleme, also wahrscheinlich nicht effizient zu lösen.