Färbungsprobleme
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Färbungsprobleme
Motivation
- Einfärben einer Karte mit so wenig Farben wie möglich, wobei zwei einander angrenzende Länder nie dieselbe Farbe haben dürfen
Grundlegende Definitionen
Farbe
Ein Element c heißt Farbe, wenn gilt: c \in Cund c ist von jedem beliebigen Element c' \in Cunterscheidbar.
Aus mathematischer sowie programmiertechnischer Sicht ist es daher sinnvoll, Farben als Zahlen festzulegen. In graphischen Darstellungen sind hingegen tatsächliche Farben wesentlich geeigneter. Theoretisch jedoch ist alles als Farbe zugelassen.
Färbung
Eine Färbung ist ein Zuordnung einer Farbe zu Elementen eines Graphen. Eine Knotenfärbung zum Beispiel ordnet jedem Knoten eine Farbe zu. Insgesamt gibt es drei hauptsächliche Arten der Färbung eines Graphen:
- Knotenfärbung: jedem Knoten des Graphen wird eine Farbe zugeordnet
- Kantenfärbung: jeder Kante des Graphen wird eine Farbe zugeordnet
- Totalfärbung: sowohl jedem Knoten als auch jeder Kante wird eine Farbe zugeordnet
Desweiteren wird ausschließlich auf Knotenfärbung eingegangen. Definiert wird die Knotenfärbung (im folgenden nur Färbung) folgendermaßen:
Wenn G(V,E) ein ungerichteter Graph ohne Schleifen und Mehrfachkanten ist, dann ist f: V \to C die Färbung dieses Graphen.
Sind die folgenden Graphen nach dieser Definition korrekt gefärbt?
Eichhorn_colored_graph_1Eichhorn_colored_graph_2Eichhorn_colored_graph_3
C = \{Bothe_red_32, Bothe_blue_32, Bothe_green_32\}
Lösung
- Graph 1: Ja
- Graph 2: Nein
- Graph 3: Ja
Das Färben eines Graphen ist jedoch nicht beliebig möglich, wenn die Färbung gültig sein soll.
Wenn je zwei beliebige benachbarte Knoten nicht dieselbe Farbe haben, dann heißt die dazugehörige Färbung gültig.
\all v \in V : \all w \in \Gamma (v) : f(v) \nequal f(w)