Teile und Herrsche

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Inhaltsverzeichnis

Teile und herrsche (divide et impera)

Definition

Das Entwurfsverfahren Teile und Herrsche (divide-and-conquer) dient dem Entwurf rekursiver Algorithmen. Die Idee ist es, ein Problem der Groeßen in mehrere gleichartige aber kleinere Teilprobleme zu zerlegen (divide). Aus rekursiv gewonnenen Lösungen der Teilprobleme gilt es dann, eine Gesamtlösung für das ursprüngliche Problem zusammenzusetzen (conquer).


S3anbrem_Def.PNG

Entwurfsmethode für Algorithmen

1. Teile das Problem in kleinere Unterprobleme (Divide)
2. Löse rekursiv die entstehenden Unterprobleme (Conquer)
3. Setze die Lösungen zusammen.

S3anbrem_Anw.PNG

Beispiele

Beispiel 1 : Sortierverfahren (Merge-Sort)

  • Sortiere eine Array indem zwei Teilarrays sortiert und dann gemischt werden.

sort ( [ 19 17 23 31 3 5 7 29 2 11 17 ] )                                  Teile!
  => merge (
      sort ( [ 19 17 23 31 3 ] ),                                                   Herrsche über Teilproblem 1
      sort ( [ 5 7 29 2 11 17 ] ) )                                                 Heersche über Teilproblem 2
= merge ( [ 3 17 19 23 31 ] , [ 2 5 7 11 17 29 ] )                     Kombiniere zur Gesamtlösung
  = [ 2 3 5 7 11 17 17 19 23 29 31 ]

Beispiel 2: Lebkuchenhaus

S3anbrem_Lkh.PNG

Beispiel 3 : Die Türme von Hanoi

Wenn die Anzahl der Scheiben 1 beträgt, ist die Lösung des Problems trivial.
Bei mehr als einer Scheibe läßt sich das Gesamtproblem in drei Teilprobleme zerlegen:

  • Transportiere n-1 Scheiben vom Anfangsplatz auf den Hilfsplatz.
  • Transportiere die letzte Scheibe vom Anfangsplatz auf Zielplatz.
  • Transportiere n-1 Scheiben vom Hilfsplatz auf den Zielplatz.

S3anbrem_Azh.PNG


Spiele: http://www.gf-webdesign.de/tuerme-von-hanoi/tuerme-von-hanoi.htm

Eigenschaften

  • kann bei konzeptionell schwierigen Problemen hilfreich sein

  • kann effiziente Lösungen realisieren

  • für Parallelverarbeitung geeignet

Instanzen

  • Mergesort
  • Quicksort
  • Intervallhalbierung (Binärbäumen)

Laufzeiten der Form

S3anbrem_Lz.PNG

T(1) = const

Übung 1 : Die Türme von Hanoi

Die Spielregeln

Es sind n Scheiben unterschiedlichen Durchmessers gegeben, welche geordnet zu einem Turm geschichtet sind, die untere Scheibe ist die größte. Der Turm steht auf einem Anfangsplatz. Unter Verwendung eines Hilfsplatzes soll dieser Turm nun zu einem Zielplatz transportiert werden, wobei verschiedene Regeln einzuhalten sind.

  • Transportiere n Scheiben vom Anfangsplatz auf den Zielplatz, verwende einen Hilfsplatz.


S3anbrem_U1.png

Lösung

S3anbrem_B4.PNG

Neuigkeit

  • Der 2. Schritt ist trivial und sofort ausführbar.
  • Der 1. und der 3. Schritt sind von der gleichen Art wie das Ausgangsproblem, nur die Anzahl der Scheiben ist um 1 kleiner und die Bedeutung der Plätze hat sich verändert.

Damit hat man für das Gesamtproblem eine rekursive Lösungsvorschrift formuliert.

Pseudo - Code

Bedeutung der Variablen:

ap - Anfangsplatz
zp - Zielplatz
hp - Hilfsplatz
n - Anzahl der Scheiben
Die Übergabe des Hilfsplatzes als Parameter kann auch entfallen, wenn man als Berechnung einsetzt:
hp := 6 - ap - zp.

Spiele

http://www.gf-webdesign.de/tuerme-von-hanoi/tuerme-von-hanoi.htm

Quicksort

Das Verfahren

Quicksort ist ein schneller Sortieralgorithmus auf der Basis rekursiver Vergleiche von Elementen, welcher von C.A.O Hoare im Jahre 1960 entwickelt wurde.

Das Prinzip ist eine gegebene Gesamtliste G so in zwei Teillisten L und R auf zuteilen, dass alle Elemente von L kleiner als ein Vergleichselement v \in G

und alle Elemente von R größer als v sind.

Hier und im folgenden gilt das alle Elemente von G natürliche Zahlen sind.

funktionaler Aufbau

Mergesort

Definition

Mergesort basiert auf dem Paradigma Teile-und-Herrsche. Solch ein Algorithmus besteht aus einer (rekursiven) Zerlegung in kleinere Probleme und einer Zusammensetzung der geloesten kleineren Probleme. Die Zerlegung endet, wenn für die Teilprobleme eine explizite Loesung vorliegt.

Zerlegung: Eine zu sortierende Folge wird in zwei moeglichst gleich große Teile zerlegt.
– Zusammensetzung: Die sortierten Folgen der Teilprobleme werden zu einer sortierten Folge durch Mischen zusammengeführt.
– Explizite Loesung: Teilfolgen der Länge 1 sind bereits sortiert. Hier endet die Zerlegung.

Beispiele

  • Analogie: Sortieren eines Kartenstapels
  • Karten sind mit Zahlen beschriftet

S3anbrem_Ms.PNG

Schritt 1 : Teile den Stapel in zwei gleich grosse Stapel.
S3anbrem_Ms2.png

Schritt 2 : Sortiere beide Stapel getrennt.
S3anbrem_Ms3.PNG

Schritt 3 : Mische die beiden sortieren Stapel zu einem sortieren Stapel : lege dazu jeweils die kleinere der beiden oberen Karten umgedreht auf einen neuen Stapel.
S3anbrem_Ms4.png


Sortieren durch Mischen ( merge sort )

Teile n-elementige Folge in zwei Teilfolgen der Groeße n / 2 ( + 1 ). Sortiere die beiden Teilfolgen rekursiv. Füge die nunmehr sortierten Teilfolgen zusammen durch Reißverschlussverfahren.

Analyse von Merge-Sort

Sei T(n) die Laufzeit von Merge-Sort.
Das Aufteilen braucht O(1) Schritte.
Die rekursiven Aufrufe brauchen 2 T(n/2) Schritte.
Das Mischen braucht O(n) Schritte.
Also: T(n) = 2 T(n/2) + O(n), wenn n > 1 NB T(1) ist irgendein fester Wert.

Übungen

Übung 1

  • Sortieren Sie eine Array indem zwei Teilarrays sortiert und dann gemischt werden.

S3anbrem_B1a1.PNG

1. Aufteilen der Eingabe

S3anbrem_B1a.png

2. Rekursiv Sortieren

S3anbrem_B1b.png

3. Zusammenfügen

S3anbrem_B1c.png


Übung 2

Sortieren Sie die Buchstaben in der Zeichenkette aus Ihrem zusammenge- schriebenen Vor- und Nachnamen mit MergeSortierung.

Übung 3

n - Anzahl Elemente

1. Implementieren Sie eine Klasse „MergeSort".
2. Implementieren Sie in der Klasse eine Methode „sort“ mit den Parameter:
- eindimensionales Array -> a
- low
- high
3. Deklarieren Sie Variable N und initialisieren als die Unterschied zwischen high und low .
4. Implementieren Sie die Schleifen :

  • für N kleiner gleich 1


1. Implementieren Sie eine Klasse „main".
2. Importieren Sie Scanner. 3. Deklarieren Sie zwei Variablen n und i.
4. Fragen Sie den Nutzer nach Anzahl die Elemente.
5. Initialisieren Sie diese Zahl als Variable n.
6. Erstellen Sie eindimensionales Array , welche beträgt new int[n].
7. Fragen Sie den Nutzer nach den Wert diese Elemente.
8. Implementieren Sie die Schleife , welche ruft diese Werte ab.
9. Benutzen Sie Mathode sort für arr,0,n.
10. Drucken Sie diese Elemente.

Binäres Suchen

Zusammenfassung

  • Teile und Herrsche - Zerlegung größerer Aufgaben oder Probleme in kleinere Aufgaben oder Probleme, die einfacher zu bewältigen oder leichter gelöst werden können.
  • Mergesort - ein schnelleres (und rekursives) Sortierverfahren.

Quellen

Wagenknecht, 2003, Algorithmen und Komplexität
http://www.inf-schule.de/
http://www.awb1.ch/
http://www.ki.informatik.uni-frankfurt.de/
http://ddi.cs.uni-potsdam.de/
http://thm.de/