Teile und Herrsche
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Teile und herrsche (divide et impera)
Definition
Das Entwurfsverfahren Teile und Herrsche (divide-and-conquer) dient dem Entwurf rekursiver Algorithmen. Die Idee ist es, ein Problem der Groeßen in mehrere gleichartige aber kleinere Teilprobleme zu zerlegen (divide). Aus rekursiv gewonnenen Lösungen der Teilprobleme gilt es dann, eine Gesamtlösung für das ursprüngliche Problem zusammenzusetzen (conquer).
Entwurfsmethode für Algorithmen
1. Teile das Problem in kleinere Unterprobleme (Divide)
2. Löse rekursiv die entstehenden Unterprobleme (Conquer)
3. Setze die Lösungen zusammen.
Beispiele
Beispiel 1 : Sortierverfahren (Merge-Sort)
- Sortiere eine Array indem zwei Teilarrays sortiert und dann gemischt werden.
sort ( [ 19 17 23 31 3 5 7 29 2 11 17 ] ) Teile!
=> merge (
sort ( [ 19 17 23 31 3 ] ), Herrsche über Teilproblem 1
sort ( [ 5 7 29 2 11 17 ] ) ) Heersche über Teilproblem 2
= merge ( [ 3 17 19 23 31 ] , [ 2 5 7 11 17 29 ] ) Kombiniere zur Gesamtlösung
= [ 2 3 5 7 11 17 17 19 23 29 31 ]
Beispiel 2: Lebkuchenhaus
Beispiel 3 : Die Türme von Hanoi
Wenn die Anzahl der Scheiben 1 beträgt, ist die Lösung des Problems trivial.
Bei mehr als einer Scheibe läßt sich das Gesamtproblem in drei Teilprobleme zerlegen:
- Transportiere n-1 Scheiben vom Anfangsplatz auf den Hilfsplatz.
- Transportiere die letzte Scheibe vom Anfangsplatz auf Zielplatz.
- Transportiere n-1 Scheiben vom Hilfsplatz auf den Zielplatz.
Spiele:
http://www.gf-webdesign.de/tuerme-von-hanoi/tuerme-von-hanoi.htm
Eigenschaften
-
kann bei konzeptionell schwierigen Problemen hilfreich sein
-
kann effiziente Lösungen realisieren
-
für Parallelverarbeitung geeignet
Instanzen
- Mergesort
- Quicksort
- Intervallhalbierung (Binärbäumen)
Laufzeiten der Form
T(1) = const
Übung 1 : Die Türme von Hanoi
Die Spielregeln
Es sind n Scheiben unterschiedlichen Durchmessers gegeben, welche geordnet zu einem Turm geschichtet sind, die untere Scheibe ist die größte. Der Turm steht auf einem Anfangsplatz. Unter Verwendung eines Hilfsplatzes soll dieser Turm nun zu einem Zielplatz transportiert werden, wobei verschiedene Regeln einzuhalten sind.
- Transportiere n Scheiben vom Anfangsplatz auf den Zielplatz, verwende einen Hilfsplatz.
Lösung
Neuigkeit
- Der 2. Schritt ist trivial und sofort ausführbar.
- Der 1. und der 3. Schritt sind von der gleichen Art wie das Ausgangsproblem, nur die Anzahl der Scheiben ist um 1 kleiner und die Bedeutung der Plätze hat sich verändert.
Damit hat man für das Gesamtproblem eine rekursive Lösungsvorschrift formuliert.
Pseudo - Code
Bedeutung der Variablen:
ap - Anfangsplatz
zp - Zielplatz
hp - Hilfsplatz
n - Anzahl der Scheiben
Die Übergabe des Hilfsplatzes als Parameter kann auch entfallen, wenn man als Berechnung einsetzt:
hp := 6 - ap - zp.
Spiele:
http://www.gf-webdesign.de/tuerme-von-hanoi/tuerme-von-hanoi.htm
Quicksort
Das Verfahren
Quicksort ist ein schneller Sortieralgorithmus auf der Basis rekursiver Vergleiche von Elementen, welcher von C.A.O Hoare im Jahre 1960 entwickelt wurde.
Das Prinzip ist eine gegebene Gesamtliste G so in zwei Teillisten L und R auf zuteilen, dass alle Elemente von L kleiner als ein Vergleichselement v \in G
Hier und im folgenden gilt das alle Elemente von G natürliche Zahlen sind.
funktionaler Aufbau
Mergesort
ein schnelleres (und rekursives) Sortierverfahren.
- Analogie: Sortieren eines Kartenstapels
- Karten sind mit Zahlen beschriftet
Schritt 1 : Teile den Stapel in zwei gleich grosse Stapel.
Schritt 2 : Sortiere beide Stapel getrennt.
Schritt 3 : Mische die beiden sortieren Stapel zu einem sortieren Stapel : lege dazu jeweils die kleinere der beiden oberen Karten umgedreht auf einen neuen Stapel.
Sortieren durch Mischen ( merge sort )
Teile n-elementige Folge in zwei Teilfolgen der Groeße n / 2 ( + 1 ). Sortiere die beiden Teilfolgen rekursiv. Füge die nunmehr sortierten Teilfolgen zusammen durch Reißverschlussverfahren.
Analyse von Merge-Sort
Sei T(n) die Laufzeit von Merge-Sort.
Das Aufteilen braucht O(1) Schritte.
Die rekursiven Aufrufe brauchen 2 T(n/2) Schritte.
Das Mischen braucht O(n) Schritte.
Also: T(n) = 2 T(n/2) + O(n), wenn n > 1 NB T(1) ist irgendein fester Wert.
Ubung 1
- Sortieren Sie eine Array indem zwei Teilarrays sortiert und dann gemischt werden.
1. Aufteilen der Eingabe
2. Rekursiv Sortieren
3. Zusammenfügen
UBUNG 2
Sortieren Sie die Buchstaben in der Zeichenkette aus Ihrem zusammenge- schriebenen Vor- und Nachnamen mit MergeSortierung.
Ubung 3
n - Anzahl Elemente
1. Implementieren Sie eine Klasse „MergeSort".
2. Implementieren Sie in der Klasse eine Methode „sort“ mit den Parameter:
- eindimensionales Array -> a
- low
- high
3. Deklarieren Sie Variable N und initialisieren als die Unterschied zwischen high und low .
4. Implementieren Sie die Schleifen :
- für N kleiner gleich 1
1. Implementieren Sie eine Klasse „main".
2. Importieren Sie Scanner.
3. Deklarieren Sie zwei Variablen n und i.
4. Fragen Sie den Nutzer nach Anzahl die Elemente.
5. Initialisieren Sie diese Zahl als Variable n.
6. Erstellen Sie eindimensionales Array , welche beträgt new int[n].
7. Fragen Sie den Nutzer nach den Wert diese Elemente.
8. Implementieren Sie die Schleife , welche ruft diese Werte ab.
9. Benutzen Sie Mathode sort für arr,0,n.
10. Drucken Sie diese Elemente.
Binäres Suchen
Zusammenfassung
- Teile und Herrsche - Zerlegung größerer Aufgaben oder Probleme in kleinere Aufgaben oder Probleme, die einfacher zu bewältigen oder leichter gelöst werden können.
- Mergesort - ein schnelleres (und rekursives) Sortierverfahren.
Quellen
Wagenknecht, 2003, Algorithmen und Komplexität
http://www.inf-schule.de/
http://www.awb1.ch/
http://www.ki.informatik.uni-frankfurt.de/
http://ddi.cs.uni-potsdam.de/
http://thm.de/