Teile und Herrsche
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Teile und herrsche (divide et impera)
Definition
Teile und herrsche ist eine Problemlösestrategie, bei der ein Problem immer weiter in Teilprobleme zerlegt wird, bis sich diese einfach lösen lassen. Aus den Lösungen der Teilprobleme wird dann die Lösung des Gesamtproblems zusammengesetzt.
Entwurfsmethode für Algorithmen
1. Teile das Problem in kleinere Unterprobleme (Divide)
2. Löse rekursiv die entstehenden Unterprobleme (Conquer)
3. Setze die Lösungen zusammen.
Instanzen
• Mergesort
• Quicksort
• Intervallhalbierung (Binärbäumen)
Beispiel
Sortieren
Aufteilen der Eingabe
Rekursiv Sortieren
Zusammenfügen
Lebkuchenhaus
Übung 1 : Die Türme von Hanoi
Die Spielregeln
Es sind n Scheiben unterschiedlichen Durchmessers gegeben, welche geordnet zu einem Turm geschichtet sind, die untere Scheibe ist die größte. Der Turm steht auf einem Anfangsplatz. Unter Verwendung eines Hilfsplatzes soll dieser Turm nun zu einem Zielplatz transportiert werden, wobei verschiedene Regeln einzuhalten sind.
Transportiere n Scheiben vom Anfangsplatz auf den Zielplatz, verwende einen Hilfsplatz.
Lösung
Teilprobleme
Wenn die Anzahl der Scheiben 1 beträgt, ist die Lösung des Problems trivial. Bei mehr als einer Scheibe läßt sich das Gesamtproblem in drei Teilprobleme zerlegen:
- Transportiere n-1 Scheiben vom Anfangsplatz auf den Hilfsplatz.
- Transportiere die letzte Scheibe vom Anfangsplatz auf Zielplatz.
- Transportiere n-1 Scheiben vom Hilfsplatz auf den Zielplatz.
Bei näherer Betrachtung der Teilprobleme fällt folgendes auf:
a) Der 2. Schritt ist trivial und sofort ausführbar.
b) Der 1. und der 3. Schritt sind von der gleichen Art wie das Ausgangsproblem, nur die Anzahl der Scheiben ist um 1 kleiner und die Bedeutung der Plätze hat sich verändert.
Damit hat man für das Gesamtproblem eine rekursive Lösungsvorschrift formuliert.
Bedeutung der Variablen:
Bedeutung der Variablen:
ap - Anfangsplatz
zp - Zielplatz
hp - Hilfsplatz
n - Anzahl der Scheiben
Die Übergabe des Hilfsplatzes als Parameter kann auch entfallen, wenn man als Berechnung einsetzt:
hp := 6 - ap - zp.
Spiele: http://www.gf-webdesign.de/tuerme-von-hanoi/tuerme-von-hanoi.htm
Die Idee
Quicksort
Mergesort
Binäres Suchen
Zusammenfassung
- Teile und Herrsche - Zerlegung größerer Aufgaben oder Probleme in kleinere Aufgaben oder Probleme, die einfacher zu bewältigen oder leichter gelöst werden können.
Quellen
Wagenknecht, 2003, Algorithmen und Komplexität
http://www.inf-schule.de/
http://www.awb1.ch/
http://www.ki.informatik.uni-frankfurt.de/
http://ddi.cs.uni-potsdam.de/