Hamilton Kreise

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Archivierte Version vom 2015-12-14T21:54:02+00:00. Aktuelle Version

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Definitionen Graphentheorie

Einfacher Weg

Für n ≥ 2 nennt man einen Graphen P_n mit der Knotenmenge V(P_n) = {v_0, v_1, . . . , v_n} und der Kantenmenge E(P_n) = {{v_0, v_1}, {v_1, v_2}, . . . , {v_{n−1}, v_n}} einen einfachen Weg der Länge n, sofern keine Kante und kein Knoten mehrfach durchlaufen wird.

Jowolf_EinfacherWegCEFG.png

siehe auch: Grundbegriffe der Graphentheorie 1

Einfacher Kreis

Für n ≥ 3 nennt man einen Graphen P_n mit der Knotenmenge V(P_n) = {v_0, v_1, . . . , v_n} und der Kantenmenge E(C_n) = {{v_0, v_1}, {v_1, v_2}, . . . , {v_{n−1}, v_n}} einen einfachen Weg (oder Pfad) der Länge n, sofern keine Kante und kein Knoten mehrfach durchlaufen wird.

Jowolf_EinfacherKreisFGJF.png

siehe auch: Grundbegriffe der Graphentheorie 1

Bewerteter Graph
kantenabhängig knotenabhängig
Eine Kantenmarkierung eines Graphen G =(V, E) ist eine Abbildung b:E \rightarrow M die jeder Kante e einen Wert oder ein Symbol zuordnet. Für die Bewertung der Kante {u, v} schreiben wir dann kurz b(u, v). Eine Knotenmarkierung eines Graphen G =(V, E) ist eine Abbildung b:V \rightarrow M die jedem Knoten v einen Wert oder ein Symbol zuordnet.

siehe auch: Grundbegriffe der Graphentheorie 2

Dijktra-Algorithmus

Der Dijktra-Algorithmus gehört in die Gruppe der Greedy-Algorithmen. Er dient zur Berechnung der kürzesten Pfade von einem bestimmten Startknoten aus.
Jowolf_Dijkstra_Animation.gif

siehe auch: Kürzeste Wege in Graphen

Hamilton Graphen

Das Euler-Kreis-Problem behandelt die Kantenproblematik. Das Hamilton-Kreis-Problem ist das Gegenstück davon. Es handelt sich also um Knotenproblem.
Gegeben ist ein beliebig großer Graph. Wir suchen nun einen Teilgraph, der alle n Knoten des Graphen einmal durchläuft.

Es sei G = (V,E) ein Graph mit n Knoten. Der Teilgraph C, der alle n Knoten genau einmal durchläuft nennt man Hamilton Graph.

Hamiliton Wege

Ein Hamilton Weg ist, wie der Name schon sagt ein Weg, um genau zu sein ein einfacher Weg, da jeder Knoten nur einmal benutzt werden darf. Wenn in dem Graphen ein Hamilton Weg zu finden ist, so nennt man den Graphen auch semihamiltonisch.

Es sei G = (V,E) ein Graph mit n Knoten. Ein Teilgraph C heißt Hamilton Weg, wenn der Teilgraph ein einfacher Weg ist, der alle n Knoten genau einmal durchläuft. Der Graph G wird dann auch als semihamilonisch bezeichnet.

Beispiel Hamilton Graph:

Finden sie ein Hamilton Graph.

Jowolf_HamiltonGraph_leer.png

Hamilton Kreise

Wenn wir von einem Hamilton Kreis sprechen ist in dem Graphen ein einfacher Kreis enthalten, der alle Knoten des Graphen berührt. Diesen Graphen nennt man hamiltonisch.

Es sei G = (V,E) ein Graph mit n Knoten. Ein Kreis C auf G heißt Hamilton Kreis, falls er jeden der n Knoten von G genau einmal durchläuft. G heißt dann auch hamiltonischer Graph.

Beispiel mit 4 Knoten: Hier ist nun ein Graph mit 4 Knoten und ziemlich vielen Kanten gegeben. Das macht die Suche relativ einfach. Tragen sie alle möglichen Hamilton Kreise zusammen.

Jowolf_HamiltonKreis-4Knoten.png


Beispiel Bekanntheitsgraph: Wir wollen eine Geburtstagsparty feiern. Wir haben verschieden Leute eingeladen und wollen nun die beste Tischordnung finden, dass jede Person eine bekannte Person an seiner rechten und eine bekannte an seiner linken Seite hat. Finden Sie einen Kreis, der diese Kriterien erfüllt. Entfernen sie dann alle Kanten, die nicht zum Graphen gehören und ordnen sie den Graphen.

Jowolf_Verwandtschaftsbeziehung.png


Man merkt, dass es immer schwieriger wird ein Hamilton Kreis zu finden. Es gibt kein effizientes Verfahren, der uns die Existenz und das Finden des Kreises erleichtert.


Naive Suche

Gäbe es ein Kriterium für die Existenz eines Hamilton Kreises wäre das Finden des Kreises leichter, da man weiß, dass es mindestens einen Hamilton Kreis gibt. Demzufolge muss es auch mindestens einen minimalen Kreis geben. Durch eine Auflistung aller können wir nun den günstigsten finden. Dies ist ab einer bestimmten Größe nicht mehr effizient.
Unter der Annahme, dass 10^{30} Lösungen pro ns berechnet werden können. Kann man zu folgender sehr erstaunlichen Tabelle kommen.
Anzahl Knoten Anzahl möglicher Lösungen Benötigte Zeit
5 12
10 181440
15 4,36 \cdot 10^{10}
20 6,08 \cdot 10^{16}
25 3,1 \cdot 10^{23}
30 4,42 \cdot 10^{30} 4,42 ns
35 1,48 \cdot 10^{38} 0,15 s
40 1,02 \cdot 10^{46} 118 Tage
45 1,33 \cdot 10^{54} 9,21 \cdot 10^7 Jahre
50 3,04 \cdot 10^{62} 9,6 \cdot 10^{15} Jahre

Gedankenexperiment:
Wir haben einen gegeben Graphen. Hat das hinzufügen einer Kante Auswirkungen auf die Existenz eines Hamilton Graphen bzw Hamilton Kreis.
JA desto mehr Kanten im Graph sind, umso wahrscheinlicher ist es, dass der Graph semihamiltonisch oder sogar hamiltonisch ist. Aus diesem Experiment hat Paul Dirac (1952) als erster Wissenschaftler sich diesem Problem angenommen und den folgenden Satz formuliert:

Paul Dirac

Jowolf_Paul_Dirac.jpg

  • 1902 in Bristol geboren
  • 1984 in Tallahassee gestorben
  • britischer Physiker (Quantenphysik)
  • 1928 entwickelte er die Dirac-Gleichung, die die Relativitätstheorie von Einstein mit der Quantenphsik zusammengebracht hat
  • legte Grundlagen für den Beweis der Antimaterie
  • 1933 erhielt er den Nobelpreis mit Erwin Schrödinger "für die Entdeckung einer neuen, nützlichen Form der Atomtheorie"
"Jeder Graph G mit n Knoten und Minimalgrad \delta(G) >= \dfrac{n}{2} hamiltonisch"

Leider ist diese Aussage falsch. Grund dafür ist dieser Graph:
Jowolf_Dirac-Widerlegung.png Er besitzt den Minimalgrad von 2 und ist trotzdem hamiltonisch.
In den folgenden Jahren fand man Bedingungen für die Existenz eines Hamilton Kreises:

  1. Entfernt man aus einem hamiltonischen Graphen einen Knoten, so bleibt der Graph zusammenhängend.
  2. Ein hamiltonischer Graph mit n Knoten hat einen Durchmesser (maximaler Abstand zwischen 2 Knoten) von höchstens \dfrac{n}{2}

Diese Bedingungen zeigen, dass ein Graph nicht hamiltonisch ist. Dies ist eigentlich nicht das gesuchte Ziel. Man kann es aber trotzdem benutzen. Nachteilig ist außerdem, dass man jeden Knoten probieren muss, um den Minimalgrad der Aussage bestimmen zu können. Die Komplexität ist \mathcal O = 2^n.

Beweis der Komplexität (Stirlingsche Formel)

Zum Beweis der Komplexität ziehen wir die Stirlingsche Formel zur Hilfe. Diese hat ähnliche Eigenschaften, wie die Fakultät und hat eine sehr geringe Abweichung von der Fakultät.

Jowolf_Stirlingsche_Formel_und_Fakultät.png Jowolf_StirlingscheFormel_Abweichung_von_Fakultät.png

Die Stirlingsche Formel lautet:

n! \sim \sqrt{2 \pi n} (\dfrac{n}{e})^n; n \rightarrow \infty

Aus dieser Grundformel kann man dann auf die folgende Gleichung kommen. Mehr Informationen dazu gibt es hier https://www.staff.uni-mainz.de/pommeren/Kryptologie04/Klassisch/1_Monoalph/Stirling.pdf.

n! = \sqrt{2 \pi n} (\dfrac{n}{e})^n (1+\dfrac{1}{12n}+\dfrac{1}{288n^2}+\mathcal O (\dfrac{1}{n^3}))

Aus dieser Formel lässt sich dann der exponentielle Aufwand herleiten.

Code


LaufzeitJowolf_Staedte-permut_laufzeit-diagramm.pdf



Anzahl an Hamilton Kreisen
Voraussetzung: Jeder Knoten ist mit jedem Knoten durch eine Kante verbunden.

Im vollständigen Graphen K_n gibt es  \dfrac{1}{2} (n-1)! verschiedene Hamilton-Kreise.
Begründung: Wir starten an einem beliebigen Startknoten, der eine Anzahl n an Kanten hat. Wir haben n-1 Möglichkeiten die richtige Kante zum nächsten Knoten zu wählen. An diesem Knoten habe wir nur noch n-2 Kanten zur Wahl, da 2 Kanten zu bereits durchlaufenen Knoten führen. An dem nächsten Knoten haben wir dann nur noch die Wahl aus n-3 Möglichkeiten. Daraus ergibt sich dann (n-1)!.
Beispiel: Wir haben einen vollständigen Graphen mit 5 Knoten. Wie viele Hamilton Kreise kann man finden?
Lösung
12
Jowolf_Anzahl-1.png
Jowolf_Anzahl-2.png
Jowolf_Anzahl-3.png
Jowolf_Anzahl-4.png
Jowolf_Anzahl-5.png
Jowolf_Anzahl-6.png
Jowolf_Anzahl-7.png
Jowolf_Anzahl-8.png
Jowolf_Anzahl-9.png
Jowolf_Anzahl-10.png
Jowolf_Anzahl-11.png
Jowolf_Anzahl-12.png


Kritische Betrachtung des Verfahrens: Wie viele Hamilton Kreise kann man für eine Knotenanzahl von 20 Städten finden?
Lösung
60 Billiarden


Eine Auflistung und Auswahl des minimalen Kreises gestaltet sich als sehr schwierig, da bei einer relativ geringen Anzahl an Knoten eine mächtige Menge von Hamilton Kreisen zustande kommt. Wenn wir jetzt durch die gesamte Menge durch iterieren wollen ist der Aufwand extrem.
Traveling Salesman Problem (TSP)
Das TSP  ist ein klassischer Anwendungsfall der Hamilton Kreise. Das Ziel des TSP liegt darin, die günstigste Reise in einem bewertetem Graphen durch alle Orte zu finden. Seit mehreren Generationen ist dies ein sehr wichtiges Problem. Durch die sehr einfache Vorstellung des Problems ist die Einarbeitung in das Problem sehr einfach. Leider gibt es keinen allgemeinen Lösungsansatz, der das Problem in adäquater Zeit löst. Heuristiken können zwar eine Lösung bieten, diese kann aber sehr ungenau sein und wird dadurch nicht als befriedigend eingestuft.


Das Problem des Handlungsreisenden (Travelling Salesman Problem) besteht darin, auf einem bewerteten Graphen K_n einen (im Sinne der Bewertung) kürzesten Hamilton-Kreis zu finden. Gilt für die Bewertung zuätzlich die Dreiecksungleichung, so spricht man von einem Rundreiseproblem.


Jowolf_LandkreisGörlitzGraph.png
Dreiecksungleichung
Die Dreiecksungleichung entspricht dem normalen Entfernungsverständnis im Alltag. Wenn ich also von Görlitz nach Dresden fahren möchte fahre ich nicht über Berlin, weil dieser Weg länger ist und ein direkter Weg vorliegt.


Im vollständigem Graphen K_n ist die Dreiecksungleichung erfüllt, wenn für alle Knoten u,v und w gilt: d(u,v) \leq d(u,v)+d(w,v)


Erschöpfende Suche
Die erschöpfende Such oder auch exhaustive search dient zur Berechnung der kompletten Menge aller Lösungen des Problems. Die Lösungsmenge enthält in jedem Fall die optimale Lösung. Diese herauszufinden kann je nach Problem sehr einfach sein z.B. durch einen Vergleich der Kosten.

In unserem Fall ist es theoretisch einfach so etwas aufzubauen, jedoch wird die Berechnungszeit bei größeren Graphen enorm ansteigen. Wir müssten für jeden Knoten n aus unserem Graphen K_n einen Hamilton Kreis finden. Aus dieser entstehende Menge müsste man den Kreis herausfinden, der das geringste Gewicht hat.
Praktische Anwendungen des Travaling Salesman Problem
    

  • Entwicklung neuer Optimierungsverfahren
    • 

  • Suche nach einer schnellen Bahnverbindungen
    • 

  • Zusammenstellen von Leiterplatten
    • 



Komplexitätsklassen
Bisher haben wir die Komplexität von bestimmten Algorithmen im einzelnen betrachtet. In der Komplexitätstheorie werden Algorithmen bezüglich ihrer unterschiedlichen Aufwände in Klassen eingeteilt. Zur Einteilung in diese Klassen sind die elementaren Rechenschritte von Bedeutung.
Exkurs zu den Komplexitätsmaßen
In der Empirischen Analyse steht die Untersuchung von Algorithmen anhand von gewählten Problemgrößen und deren zeitlicher Aufwand im Vordergrund
Diese Zeitmessungen sind nicht immer sehr objektiv, an einem verteilten System kann es aufgrund der Ressourcenzuteilung zu erheblichen Abweichungen kommen.
Hier ist es angebracht eine andere Maßeinheit zu benutzen, diese kann die Anzahl der Grundoperationen sein. Für diese Betrachtung sieht man die Addition und Multiplikation als Grundoperationen an. Diese Grundoperationen kann der Prozessor mit unterschiedlichen Wortbreiten durchführen(16 Bit, 32 Bit, 64 Bit). Wenn eine Zahl zu einer anderen addiert werden soll, zum Beispiel 65000 + 13000 dann kann der Prozessor dies in einem Rutsch erledigen und das Liefern des Ergebnisses hat genau eine Operation(Grundoperation) gedauert. Hierbei spricht man auch vom uniformen Komplexitätsaufwand, das heißt der Aufwand wird nach oben durch eine Konstante beschränkt. 
Wenn jetzt die Wortbreite der Eingabewörter dazuführt das bei der einer Grundoperation die Wortbreite des Resultates überschritten wird, dann ist das uniforme Komplexitätsmaß nicht mehr ausreichend, weil das Resultat nicht mehr mit einer Grundoperation beschrieben werden kann.     
Wenn das uniforme Komplexitätsmaß nicht ausreicht nimmt man die Bit-Komplexität. Hierbei hängt der Aufwand einer Operation von der Wortbreite(Bitlänge des Eingabewort) der Eingabe ab. Das zugehörige theoretische Modell ist die Turing-Maschine. Hierbei ergibt sich der Aufwand aus der Zahl der Bit-Rechenoperationen zur Lösung eines bestimmten Problems.   


Die time und Time Funktion
Voraussetzung ist hierfür das der entsprechende Algorithmus als Turing-Programm formuliert ist.


time(w) = \text{Anzahl der Rechenschritte der TM bei eingabe von}  w





Time(f) = 


Die Komplexitätsklasse P


Die Komplexitätsklasse P lässt sich informell definieren als, Klasse von Problemen die in polynomieller Zeit von einer deterministischen Turingmaschine gelöst werden kann.





\text{P} = \bigcup_{\text{p Polynom}} \text{TIME}\left(p\right)



Man könnte auch sagen das diese Klasse von Problemen sich mit Algorithmen effizient lösen lässt.
Die Komplexitätsklasse NP


Die Komplexitätsklasse NP lässt sich informell definieren als, Klasse von Problemen die in polynomieller Zeit von einer nichtdeterministischen Turingmaschine gelöst werden kann.





\text{NP} = \bigcup_{\text{p Polynom}} \text{NTIME}\left(p\right)


Hier kann man zusammenhängend festhalten das es sich um Probleme handelt die sich theoretisch lösen lassen, jedoch praktisch aufgrund der teils extremen Laufzeit unlösbar sind.
Heuristiken
Motivation
Von Bedeutung sind diese Verfahren wenn es zwar theoretische optimale Lösungen für bestimmte Probleme gibt, diese jedoch in der Praxis verworfen werden müssen aufgrund extrem langer Rechenzeiten. Dies ist zu Beispiel bei NP-vollständigen Problemen der Fall, hier liefern Heuristiken praktikable Näherungen.
Begriff
Der Begriff Heuristik stammt von dem griechischen Wort "heurisko" ab, das heißt übersetzt etwa "ich finde", "ich suche".
Definition


Heuristiken sind durch Erfahrung gewonnene Regeln und Verfahren, die in akzeptabler Zeit zu einer zufriedenstellenden Lösung führen. Man weiß zwar nicht, ob die gefundene Lösung optimal ist, man ist aber mit dem Ergebnis zufrieden, wenn sich abschätzen lässt wie gut oder wie schlecht die gefundene Lösung ist. Durch Probieren wird versucht das Ergebnis weiter zu verbessern.
Es handelt sich um Faustregeln oder Handlungsempfehlungen, basierend auf intuitiven Regeln, ähnlich den Bauernregeln für das Wetter. Aus einer Vielzahl von Möglichkeiten werden einige herausgefiltert.


Beispiele hierfür sind:
das 0/1 Rucksackproblem,
das TSP,
das Springerproblembeim Schach.
Heuristiken versus Algorithmen
   



       1. Fall
       2. Fall
   

   

       exakte Lösung des Problems
       keine exakte Lösung des Problems
   

   

       Anwendung eines Verfahrens/Algorithmus, welches Optimalitätskriterium für ein bestimmte Problem erfüllt.
       Das Optimalitätskriterium wird nicht immer erfüllt.
   

   

       Hier spricht man vom Algorithmus.
       Diese Verfahren können Heuristiken sein.
   





Also kann man festhalten: Heuristiken \subset Algorithmen. 



Wenn die Lösung nicht exakt ist bleibt die Frage nach Ihrer Güte.

Das heißt wie weit ist die Abweichung von dem exakten Ergebniss?
Heuristiken für das TSP
Nearest-Neightbor-Heuristik
Ein weiterer Name für dieses ist der "Best-Successor-Algorithmus", man spricht ebenfalls von der "Methode des Besten Nachfolgers". 
gehört zur Gruppe:
der greedy Verfahren
Aufbau
siehe auch
Aufbau Greedy Algorithmus/Greedy Matching Algorithmus
Allgemeine greedy Charakteristik
lokale Suche nach bestem Nachfolger(Happen)
kein Backtracking/revidieren der Entscheidung
keine vorübergehende Verschlechterung(keine Vorausschau)
Komplexität der Heuristik
Die Komplexität der Heuristik beträgt \mathcal O(n^2) laut Literatur. Somit liegt die Heuristik in der Komplexitätsklasse P und ist effizient lösbar.
Die empirische Laufzeitanalyse ergab folgende Werte.
Ergebnisse der Analyse
   



       Anzahl der Städteworst case in msaverage case in msbest case in ms
   

   

       50096,65
   

   

       1000191411
   

   

       15003321,515
   

   

       3000696356
   

   

       5000347289,1227
   

   

       800018311532,71175
   

   

       1100074806325,95174
   

   

       140001931217839,715931
   

   

       170004386441390,237233
   


Gawantka.falko_Graph1_mit_anfang.png


Prinzipelles Vorgehen des Verfahrens
Eingabe: Vollständiger bewerteter Graph K_n



Schritt 1:
Beginne an einem beliebigen Knoten mit leerer Tour v \in V und T = \emptyset.




Schritt 2:
Bestimme einen noch nicht besuchten Knoten, mit der geringsten Entfernung zu v w \ne v und setze T = T \cup \{v,w\}, sowie v = w.




Schritt 3:
Solange es noch unbesuchte Knote gibt gehe zu Schritt 2. Ansonsten gehe zurück zum Anfang v und füge v der Tour hinzu T = T \cup \{v\}





Ergebnis: Hamilton-Kreis
Beispiel für ein TSP
Finden sie die kürzeste Tour! 
4Städte.PNG
Implementation
???
Vor.- und Nachteile
   



       Vorteile
       Nachteile
   

   

       schnelles Verfahren
       keine optimalen Ergebnisse
   

   

       geeignet für große Problemgrößen
       keine globale suche
   

   

       praktikabel
       
   

   

       kann ein praktisch unlösbares Problem lösen
       
   


Insertion-Heuristik
???
???
Minimum-Spanning-Tree-Heuristik (MST)

gehört zur Gruppe:
Approximationsalgorithmen
Definition
Ein Approximationsalgorithmus ist ein Algorithmus, der versucht ein Problem näherungsweise zu lösen. Der Algorithmus wird jedoch nur in den seltensten Fällen die exakte Lösung erreichen.


Komplexität der Heuristik
Die Komplexität der Heuristik ist polynomiell, da der Algorithmus von Prim bzw Kruskall in Polynomialzeit durchführbar ist.



Schritt
Komplexität





1

\mathcal O (n^2)





2

\mathcal O (n)





3

\mathcal O (n)





4

\mathcal O (n)





Prinzipelles Vorgehen des Verfahrens
Eingabe: Vollständiger bewerteter Graph K_n



Schritt 1:
Bestimmung eines minimal spannenden Baums B in G durch den Algorithmus von Prim oder Algorithmus von Kruskal


Schritt 2:
Verdopple jede Kante in B




Schritt 3:
Bestimme einen Eulerkreis K in B. Der Startknoten ist beliebig.




Schritt 4:
Erstelle einen neuen Graphen K'. Übernimm dabei alle Kanten aus K und entferne alle Kante, die bereits zu besuchten Knoten führen. Ersetze diese Kante durch eine Kante zum Knoten der im Eulerkreis an nächster Stelle kommt. Ausnahme dabei ist der Startknoten.





Ergebnis: Hamilton-Kreis
Beispiel für ein TSP
Jowolf_MST-Heuristik-1.png
1. Schritt
Jowolf_MST-Heuristik-2.png
<popup name="2. Schritt">
Jowolf_MST-Heuristik-3.png
<popup name="3. Schritt">
Eulerkreis: K = {D, C, D, B, D, A, D, E, D}
<popup name="4. Schritt">
Jowolf_MST-Heuristik-4.png
Hamilton-Kreis: {D, C, B, A, E, D}</popup></popup></popup>


Vor.- und Nachteile
   



       Vorteile
       Nachteile
   

   

       
       keine exakte Lösung, da das Gewicht des MST größer als die optimale Rundreise sein kann
   

   

       
       
   

   

       
       
   

   

       
       
   


Anwendung in der Praxis
Ein Außendienstmitarbeiter soll alle Kunden die ein bestimmtes Produkt benutzen aufsuchen und ein neues vorstellen. Gesucht ist der kürzestes Weg der alle Kunden beinhaltet.
Ein Mitarbeiter von einem Pflegedienst soll in einem bestimmten Stadtbezirk die Patienten so abfahren das der weg am geringsten ist.
Das bohren von Leiterplatten in der Elektronik. Hier bei sind Leiterbahnen in Platinen geätzt jetzt sollen Löcher so gebohrt werden das der Abstand zwischen bestimmten Bauteilen minimal ist.
In der Automobil Industrie soll ein Schweißroboter....
Quellen
  • Krischke/Röpcke, 2015, Graphen und Netzwerktheorie
  • Wagenknecht, 2003, Algorithmen und Komplexität
  • Vossen/Witt, 2000 , Grundlagen der Theoretischen Informatik mit Anwendungen
  • Schöning, 1992, Theoretische Informatik kurz gefasst
  • Hartmann, 2015, Mathematik für Informatiker
  • Gumm/Sommer, 2013, Einführung in die Informatik 
  • https://www.dropbox.com/sh/8jakxwbw6txwowt/AACFReP2kd3bfjh1NDlTT4B0a?dl=0