Hamilton Kreise

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Inhaltsverzeichnis

Einführung

Definitionen Graphentheorie

Einfacher Weg

Für n ≥ 2 nennt man einen Graphen P_n mit der Knotenmenge V(P_n) = {v_0, v_1, . . . , v_n} und der Kantenmenge E(P_n) = {{v_0, v_1}, {v_1, v_2}, . . . , {v_{n−1}, v_n}} einen einfachen Weg der Länge n, sofern keine Kante und kein Knoten mehrfach durchlaufen wird.

Jowolf_EinfacherWegCEFG.png

siehe auch: Grundbegriffe der Graphentheorie 1

Einfacher Kreis

Für n ≥ 3 nennt man einen Graphen P_n mit der Knotenmenge V(P_n) = {v_0, v_1, . . . , v_n} und der Kantenmenge E(C_n) = {{v_0, v_1}, {v_1, v_2}, . . . , {v_{n−1}, v_n}} einen einfachen Weg (oder Pfad) der Länge n, sofern keine Kante und kein Knoten mehrfach durchlaufen wird.

Jowolf_EinfacherKreisFGJF.png

siehe auch: Grundbegriffe der Graphentheorie 1

Bewerteter Graph
kantenabhängig knotenabhängig
Eine Kantenmarkierung eines Graphen G =(V, E) ist eine Abbildung b:E \rightarrow M die jeder Kante e einen Wert oder ein Symbol zuordnet. Für die Bewertung der Kante {u, v} schreiben wir dann kurz b(u, v). Eine Knotenmarkierung eines Graphen G =(V, E) ist eine Abbildung b:V \rightarrow M die jedem Knoten v einen Wert oder ein Symbol zuordnet.

siehe auch: Grundbegriffe der Graphentheorie 2

Dijktra-Algorithmus

Der Dijktra-Algorithmus gehört in die Gruppe der Greedy-Algorithmen. Er dient zur Berechnung der kürzesten Pfade von einem bestimmten Startknoten aus.
Jowolf_Dijkstra_Animation.gif

siehe auch: Kürzeste Wege in Graphen

Hamilton Graphen

Das Euler-Kreis-Problem behandelt die Kantenproblematik. Das Hamilton-Kreis-Problem ist das Gegenstück davon. Es handelt sich also um Knotenproblem. Gegeben ist ein beliebig großer Graph. Wir suchen nun einen Teilgraph, der alle Knoten des Graphen durchläuft und ein möglichst minimal ist.

Hamiliton Wege

Ein Hamilton Weg ist, wie der Name schon sagt ein Weg, um genau zu sein ein einfacher Weg, da jeder Knoten nur einmal benutzt werden darf. Wenn in dem Graphen ein Hamilton Weg zu finden ist, so nennt man den Graphen auch semihamiltonisch.

Beispiel Hamilton Graph:

Finden sie ein Hamilton Graph.

Jowolf_HamiltonGraph_leer.png

Hamilton Kreise

Wenn wir von einem Hamilton Kreis sprechen ist in dem Graphen ein einfacher Kreis enthalten, der alle Knoten des Graphen berührt. Diesen Graphen nennt man hamiltonisch.

Es sei G = (V,E) ein Graph mit n Knoten. Ein Kreis C auf G heißt Hamilton Kreis, falls er jeden der n Knoten von G genau einmal durchläuft. G heißt dann auch hamiltonischer Graph.

Beispiel mit 4 Knoten: Hier ist nun ein Graph mit 4 Knoten und ziemlich vielen Kanten gegeben. Das macht die Suche relativ einfach. Tragen sie alle möglichen Hamilton Kreise zusammen.

Jowolf_HamiltonKreis-4Knoten.png


Beispiel Bekanntheitsgraph: Wir wollen eine Geburtstagsparty feiern. Wir haben verschieden Leute eingeladen und wollen nun die beste Tischordnung finden, dass jede Person eine bekannte Person an seiner rechten und eine bekannte an seiner linken Seite hat. Finden Sie einen Kreis, der diese Kriterien erfüllt. Entfernen sie dann alle Kanten, die nicht zum Graphen gehören und ordnen sie den Graphen.

Jowolf_Verwandtschaftsbeziehung.png


Man merkt, dass es immer schwieriger wird ein Hamilton Kreis zu finden. Es gibt kein effizientes Verfahren, der uns die Existenz und das Finden des Kreises erleichtert. Man spricht auch von einem NP-vollständigem Problem.


Naive Suche

Gäbe es ein Kriterium für die Existenz eines Hamilton Kreises wäre das Finden des Kreises leichter, da man weiß, dass es mindestens einen Hamilton Kreis gibt. Demzufolge muss es auch mindestens einen minimalen Kreis geben. Durch eine Auflistung aller können wir nun den günstigsten finden. Dies ist ab einer bestimmten Größe nicht mehr effizient.
Unter der Annahme, dass 10^{30} Lösungen pro ns berechnet werden können. Kann man zu folgender sehr erstaunlichen Tabelle kommen.
Anzahl Knoten Anzahl möglicher Lösungen Benötigte Zeit
5 12
10 181440
15 4,36 \cdot 10^{10}
20 6,08 \cdot 10^{16}
25 3,1 \cdot 10^{23}
30 4,42 \cdot 10^{30} 4,42 ns
35 1,48 \cdot 10^{38} 0,15 s
40 1,02 \cdot 10^{46} 118 Tage
45 1,33 \cdot 10^{54} 9,21 \cdot 10^7 Jahre
50 3,04 \cdot 10^{62} 9,6 \cdot 10^{15} Jahre

Gedankenexperiment:
Wir haben einen gegeben Graphen. Hat das hinzufügen einer Kante Auswirkungen auf die Existenz eines Hamilton Graphen bzw Hamilton Kreis.
JA desto mehr Kanten im Graph sind, umso wahrscheinlicher ist es, dass der Graph semihamiltonisch oder sogar hamiltonisch ist. Aus diesem Experiment hat Paul Dirac (1952) als erster Wissenschaftler sich diesem Problem angenommen und den folgenden Satz formuliert:

"Jeder Graph G mit n Knoten und Minimalgrad \delta(G) >= \dfrac{n}{s} hamiltonisch"

Leider ist diese Aussage falsch. Grund dafür ist dieser Graph:
Jowolf_Dirac-Widerlegung.png Er besitzt den Minimalgrad von 2 und ist trotzdem hamiltonisch.
In den folgenden Jahren fand man Bedingungen für die Existenz eines Hamilton Kreises:
  1. Entfernt man aus einem hamiltonischen Graphen einen Knoten, so bleibt der Graph zusammenhängend.
  2. Ein hamiltonischer Graph mit n Knoten hat einen Durchmesser (maximaler Abstand zwischen 2 Knoten) von höchstens \dfrac{n}{2}

Diese Bedingungen zeigen, dass ein Graph nicht hamiltonisch ist. Dies ist eigentlich nicht das gesuchte Ziel. Man kann es aber trotzdem benutzen. Nachteilig ist außerdem, dass man jeden Knoten probieren muss, um den Minimalgrad der Aussage bestimmen zu können. Die Komplexität ist ???.

Anzahl an Hamilton Kreisen

Voraussetzung: Jeder Knoten ist mit jedem Knoten durch eine Kante verbunden.

Im vollständigen Graphen K_n gibt es \dfrac{1}{2} (n-1)! verschiedene symmetrische Hamilton-Kreise oder (n-1)! verschiedene asymmetrische Hamilton-Kreise

Begründung: Wir starten an einem beliebigen Startknoten, der eine Anzahl n an Kanten hat. Wir haben n-1 Möglichkeiten die richtige Kante zum nächsten Knoten zu wählen. an diesem Knoten habe wir nur noch n-2 Kanten zur Wahl, da ???. An dem nächsten Knoten haben wir dann nur noch die Wahl aus n-3 Möglichkeiten. Daraus ergibt sich dann (n-1)!.

Beispiel: Wir haben einen vollständigen Graphen mit 5 Knoten. Wie viele symmetrische Hamilton Kreise kann man finden?

Lösung

12

Jowolf_Anzahl-1.png Jowolf_Anzahl-2.png Jowolf_Anzahl-3.png Jowolf_Anzahl-4.png Jowolf_Anzahl-5.png Jowolf_Anzahl-6.png Jowolf_Anzahl-7.png Jowolf_Anzahl-8.png Jowolf_Anzahl-9.png Jowolf_Anzahl-10.png Jowolf_Anzahl-11.png Jowolf_Anzahl-12.png

Kritische Betrachtung des Verfahrens: Wie viele symmetrische und asymmetrische Hamilton Kreise kann man für eine Knotenanzahl von 20 Städten finden?

Lösung
asymmetrische Hamilton Kreise 120 Billiarden
symmetrische Hamilton Kreise 60 Billiarden

Eine Auflistung und Auswahl des minimalen Kreises gestaltet sich als sehr schwierig, da bei einer relativ geringen Anzahl an Knoten eine mächtige Menge von Hamilton Kreisen zustande kommt. Wenn wir jetzt durch die gesamte Menge durch iterieren wollen ist der Aufwand extrem.

Erschöpfende Suche

Die erschöpfende Such oder auch exhaustive search dient zur Berechnung der kompletten Menge aller Lösungen des Problems. Die Lösungsmenge enthält in jedem Fall die optimale Lösung. Diese herauszufinden kann je nach Problem sehr einfach sein z.B. durch einen Vergleich der Kosten.
In unserem Fall ist es theoretisch einfach so etwas aufzubauen, jedoch wird die Berechnungszeit bei größeren Graphen enorm ansteigen. Wir müssten für jeden Knoten n aus unserem Graphen K_n einen Hamilton Kreis finden. Aus dieser entstehende Menge müsste man den Kreis herausfinden, der das geringste Gewicht hat.

Traveling Salesman Problem (TSP)

Das TSP ist ein klassischer Anwendungsfall der Hamilton Kreise. Das Ziel des TSP liegt darin, die günstigste Reise in einem bewertetem Graphen durch alle Orte zu finden. Seit mehreren Generationen ist dies ein sehr wichtiges Problem. Durch die sehr einfache Vorstellung des Problems ist die Einarbeitung in das Problem sehr einfach. Leider gibt es keinen allgemeinen Lösungsansatz, der das Problem in adäquater Zeit löst. Heuristiken können zwar eine Lösung bieten, diese kann aber sehr ungenau sein und wird dadurch nicht als befriedigend eingestuft.
Wir unterscheiden genau so, wie bei den Hamilton Kreisen in asymmetrisches und symmetrisches TSPs. Bei den asymmetrischen TSPs müssen Hin- und Rückweg unterschiedlich lang sein. Wenn dies nicht der Fall ist handelt es sich um ein symmetrisches TSP.

Das Problem des Handlungsreisenden (Travelling Salesman Problem) besteht darin, auf einem bewerteten vollständigen Graphen K_n einen (im Sinne der Bewertung) kürzesten Hamilton-Kreis zu finden. Gilt für die Bewertung zuätzlic die Dreiecksungleichung, so spricht man von einem metrischen Rundreiseproblem.

Dreiecksungleichung

Die Dreiecksungleichung entspricht dem normalen Entfernungsverständnis im Alltag. Wenn ich also von Görlitz nach Dresden fahren möchte fahre ich nicht über Berlin, weil dieser Weg länger ist und ein direkter Weg vorliegt.

Im vollständigem Graphen K_n ist die Dreiecksungleichung erfüllt, wenn für alle Knoten u,v und w gilt: d(u,v) \leq d(u,v)+d(w,v)

Praktische Anwendungen des Travaling Salesman Problem

  • Entwicklung neuer Optimierungsverfahren
  • Suche nach einer schnellen Bahnverbindungen
  • Zusammenstellen von Leiterplatten

Komplexitätsklassen

Bisher haben wir die Komplexität von bestimmten Algorithmen im einzelnen betrachtet. In der Komplexitätstheorie werden Algorithmen bezüglich ihrer unterschiedlichen Aufwände in Klassen eingeteilt. Zur Einteilung in diese Klassen sind die elementaren Rechenschritte von Bedeutung.

Exkurs zu den Komplexitätsmaßen

In der Empirischen Analyse steht die Untersuchung von Algorithmen anhand von gewählten Problemgrößen und deren zeitlicher Aufwand im Vordergrund Diese Zeitmessungen sind nicht immer sehr objektiv, an einem verteilten System kann es aufgrund der Ressourcenzuteilung zu erheblichen Abweichungen kommen.

Hier ist es angebracht eine andere Maßeinheit zu benutzen, diese kann die Anzahl der Grundoperationen sein. Für diese Betrachtung sieht man die Addition und Multiplikation als Grundoperationen an. Diese Grundoperationen kann der Prozessor mit unterschiedlichen Wortbreiten durchführen(16 Bit, 32 Bit, 64 Bit). Wenn eine Zahl zu einer anderen addiert werden soll, zum Beispiel 65000 + 13000 dann kann der Prozessor dies in einem Rutsch erledigen und das Liefern des Ergebnisses hat genau eine Operation(Grundoperation) gedauert. Hierbei spricht man auch vom uniformen Komplexitätsaufwand, das heißt der Aufwand wird nach oben durch eine Konstante beschränkt.

Wenn jetzt die Wortbreite der Eingabewörter dazuführt das bei der einer Grundoperation die Wortbreite des Resultates überschritten wird, dann ist das uniforme Komplexitätsmaß nicht mehr ausreichend, weil das Resultat nicht mehr mit einer Grundoperation beschrieben werden kann.

Wenn das uniforme Komplexitätsmaß nicht ausreicht nimmt man die Bit-Komplexität. Hierbei hängt der Aufwand einer Operation von der Wortbreite(Bitlänge des Eingabewort) der Eingabe ab. Das zugehörige theoretische Modell ist die Turing-Maschine. Hierbei ergibt sich der Aufwand aus der Zahl der Bit-Rechenoperationen zur Lösung eines bestimmten Problems.

Die Komplexitätsklasse P

Die Komplexitätsklasse P lässt sich informell definieren als, Klasse von Problemen die in polynomieller Zeit von einer deterministischen Turingmaschine gelöst werden kann.


\text{P} = \bigcup_{p Polynom} \text{TIME}\left(p\right)

Die Komplexitätsklasse NP

???

Heuristiken

Begriff

Der Begriff Heuristik stammt von dem griechischen Wort "heurisko" ab, das heißt übersetzt etwa "ich finde", "ich suche". Eine heuristik beschreibt ein Verfahren, welches zur Lösung eines Problems genutzt wird. Dieses Verfahren liefert, wenn es erfolgreich ist eine gute jedoch nicht unbedingt eine optimale Lösung des Problems.

Es handelt sich um Faustregeln, basierend auf intuitiven Regeln, ähnlich den Bauernregeln für das Wetter. Aus einer Vielzahl von Möglichkeiten werden einige herausgefiltert.

Definitionen

???

Motivation

Von Bedeutung sind diese Verfahren wenn es zwar theoretische optimale Lösungen für bestimmte Probleme gibt, diese jedoch in der Praxis verworfen werden müssen aufgrund extrem langer Rechenzeiten. Dies ist zu Beispiel bei NP-vollständigen Problemen der Fall, hier liefern Heuristiken praktikable Näherungen.

Beispiele hierfür sind:

das Rucksack problem

das TSP

Heuristiken versus Algorithmen

?????

Beispiele

Heuristiken für das Springerproblem beim Schach

Heusritiken für das Travelling Salesman Problem

Heuristiken für das TSP

Nearest-Neightbor-Heuristik

Ein weiterer Name für dieses ist der "Best-Successor-Algorithmus", man spricht ebenfalls von der "Methode des Besten Nachfolgers".

gehört zur Gruppe:

der greedy Verfahren

Komplexität des Algorithmus

???

Prinzipelles Vorgehen des Verfahrens

Eingabe: Vollständiger bewerteter Graph K_n

Schritt 1: Beginne an einem beliebigen Knoten mit leerer Tour v \in V und T = \emptyset.
Schritt 2: Bestimme einen noch nicht besuchten Knoten, mit der geringsten Entfernung zu v w \ne v und setze T = T \cup \{v,w\}, sowie v = w.
Schritt 3: Solange es noch unbesuchte Knote gibt gehe zu Schritt 2. Ansonsten gehe zurück zum Anfang v und füge v der Tour hinzu T = T \cup \{v\}

Ergebnis: Hamilton-Kreis

Pseudocode

???

Implementation

???

Vor.- und Nachteile

???

Nearest-Insertion-Heuristik

???

Farthest-Insertion-Heuristik

???

Minimum-Spanning-Tree-Heuristik (MST)

???

Anwendung in der Praxis

???

Quellen