Hamilton Kreise
Inhaltsverzeichnis |
Einführung
Definitionen Graphentheorie
Einfacher Weg
Für n ≥ 2 nennt man einen Graphen Pn mit der Knotenmenge V(P_n) = {v_0, v_1, . . . , v_n} und der Kantenmenge E(P_n) = {{v_0, v_1}, {v_1, v_2}, . . . , {v_{n−1}, v_n}} einen einfachen Weg der Länge n, sofern keine Kante und kein Knoten mehrfach durchlaufen wird.
siehe auch: Grundbegriffe der Graphentheorie 1
Einfacher Kreis
Für n ≥ 3 nennt man einen Graphen Pn mit der Knotenmenge V(P_n) = {v_0, v_1, . . . , v_n} und der Kantenmenge E(C_n) = {{v_0, v_1}, {v_1, v_2}, . . . , {v_{n−1}, v_n}} einen einfachen Weg (oder Pfad) der Länge n, sofern keine Kante und kein Knoten mehrfach durchlaufen wird.
siehe auch: Grundbegriffe der Graphentheorie 1
Bewerteter Graph
| kantenabhängig | knotenabhängig |
|---|---|
| Eine Kantenmarkierung eines Graphen G =(V, E) ist eine Abbildung b:E->M die jeder Kante e einen Wert oder ein Symbol zuordnet. Für die Bewertung der Kante {u, v} schreiben wir dann kurz b(u, v). | Eine Knotenmarkierung eines Graphen G =(V, E) ist eine Abbildung b:V->M die jedem Knoten v einen Wert oder ein Symbol zuordnet. |
siehe auch: Grundbegriffe der Graphentheorie 2
Dijktra-Algorithmus
Der Dijktra-Algorithmus gehört in die Gruppe der Greedy-Algorithmen. Er dient zur Berechnung der kürzesten Pfade von einem bestimmten Startknoten aus.
siehe auch: Kürzeste Wege in Graphen#Algorithmus von Dijkstra
Hamilton Graphen
Das Euler-Kreis-Problem behandelt die Kantenproblematik. Das Hamilton-Kreis-Problem ist das Gegenstück davon. Es handelt sich also um Knotenproblem. Gegeben ist ein beliebig großer Graph. Wir suchen nun einen Teilgraph, der alle Knoten des Graphen durchläuft und ein möglichst minimal ist.
Hamiliton Wege
Ein Hamilton Weg ist, wie der Name schon sagt ein Weg, um genau zu sein ein einfacher Weg, da jeder Knoten nur einmal benutzt werden darf. Wenn in dem Graphen ein Hamilton Weg zu finden ist, so nennt man den Graphen auch semihamiltonisch.
Hamilton Kreise
Wenn wir von einem Hamilton Kreis sprechen ist in dem Graphen ein einfacher Kreis enthalten, der alle Knoten des Graphen berührt.
Beispiel:
Traveling Salesman Problem (TSP)
???
Heuristiken
Begriff
Der Begriff \color{red}{Heuristik} stammt von dem griechischen Wort "heurisko" ab, das \color{red}{heißt} übersetzt etwa \color{red}{"ich finde"}, "ich suche". Eine heuristik beschreibt ein Verfahren, welches zur Lösung eines Problems genutzt wird. Dieses Verfahren liefert, wenn es erfolgreich ist eine gute jedoch nicht unbedingt eine optimale Lösung des Problems.
Es handelt sich um Faustregeln, basierend auf intuitiven Regeln, ähnlich den Bauernregeln für das Wetter. Aus einer Vielzahl von Möglichkeiten werden einige herausgefiltert.
Definitionen
bla
Motivation
Von Bedeutung sind diese Verfahren wenn es zwar theoretische optimale Lösungen für bestimmte Probleme gibt, diese jedoch in der Praxis verworfen werden müssen aufgrund extrem langer Rechenzeiten. Dies ist zu Beispiel bei NP-vollständigen Problemen der Fall, hier liefern Heuristiken praktikable Näherungen.
Beispiele hierfür sind:
das Rucksack problem
das TSP
Heuristiken versus Algorithmen
?????
Beispiele
Heuristiken für das Springerproblem beim Schach
Heusritiken für das Travelling Salesman Problem
Heuristiken für das TSP
Nearest-Neightbor-Heuristik
Ein weiterer Name für dieses ist der "Best-Successor-Algorithmus", man spricht ebenfalls von der "Methode des Besten Nachfolgers".
gehört zur Gruppe:
der greedy Verfahren
Komplexität des Algorithmus
???
Prinzipelles Vorgehen des Verfahrens
Eingabe: Vollständiger bewerteter Graph G = (V,E)
- Schritt 1: Beginne an einem beliebigen Knoten mit leerer Tour v \in V und T = \emptyset.
- Schritt 2: Bestimme einen noch nicht besuchten Knoten, mit der geringsten Entfernung zu v w \ne v
- und setze T = T \cup \{v,w\}, sowie v = w.
- Schritt 3: Solange es noch unbesuchte Knote gibt gehe zu Schritt 2.
- Ansonsten gehe zurück zum Anfang v und füge v der Tour hinzu T = T \cup \{v\}
Ergebnis: Hamilton-Kreis
Pseudocode
???
Implementation
???
Vor.- und Nachteile
???
Nearest-Insertion-Heuristik
???
Farthest-Insertion-Heuristik
???
Minimum-Spanning-Tree-Heuristik (MST)
???
Anwendung in der Praxis
???