Grundbegriffe der Graphentheorie 2

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Archivierte Version vom 2015-11-02T11:31:51+00:00. Aktuelle Version

Maik Geier, Anna Bremensztul

Ich:
- Die Einführung und eine kleine Wiederholung
- Bipartiter Graph
- Baeume + Waelder

Maik :
-Gerichtete Graphen und Multigraphen
- Bewertete Graphen
- Gozinto-Graphen

Zusammen:
- Zusammenfassung
- Uebung

Die Einführung und eine kleine Wiederholung

Die Graphentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Eigenschaften von Graphen und ihre Beziehungen zueinander untersucht.
Ein Graph besteht aus einer Menge von Punkten (Knoten,Ecken) zwischen denen Linien(Kanten, Bögen) verlaufen.
Der Grad eines Knotens ist die Summe der Kardinalitäten der Mengen von geordneten Paaren, welche in E enthalten sein müssen, die diesen Knoten als erstes oder zweites Paarelement haben.

Isomorphie --> Gleichstrukturiertheit von Graphen G∼G′
In der Graphentheorie bezeichnet Weg, Pfad, Kantenzug oder Kantenfolge eine Folge von Knoten, in welcher jeweils zwei aufeinander folgende Knoten durch eine Kante verbunden sind.

Wo können wir die verschiedene Graphen benutzen?

„In der Mathematik ist die Kunst des Fragestellens öfter gebräuchlich als die des Lösens!“

Verkehrswege zwischen Städten – kürzeste Wege
Transportwege mit Kapazitäten – maximale Flüsse
Zugmöglichkeiten in Spielen – Gewinnstrategien
Beispiele dafür sind auch die Netzwerke(Verkehr, Daten), Datenstrukturen oder Rechnerarchitektur.

Wir können verschiedene Darstellungen von Graphen benutzen:
1. Darstellung als Zeichnung:

2. Darstellung als Adjazenzmatrix
Jedem Knoten wird eine Zeile und eine Spalte zugeordnet und der Eintrag in der Zeile von u und der Spalte von v wird 1 gesetzt, wenn {u, v} eine Kante des Graphen ist (sonst 0):

3. Darstellung als Adjazenzliste.
Für jeden Knoten wird die Liste seiner Nachbarn angegeben (Liste von Listen).

Für die Behandlung algorithmischer Probleme sind oft Adjazenzlisten die Datenstruktur der Wahl, weil sie die wahre Größe eines Graphen (Anzahl der Kanten) widerspiegeln.

UBUNG

Grundidee: Die Adjazenzmatrix wird mit Hilfe einer zweidimensionalen Reihung dargestellt.
Isomorphie

	G1 ! G2 ! G3 ! G4
G1	Details -	Details ja	Details ja	Details
G2	Details ja	Details -	Details ja	Details
G3	Details ja	Details ja	Details -	Details -
KL	Details 48	Details	Details 48	Details	Details	Details	Details	Details	Details 116
G4	Details nein	Details nein	Details nein	Details -

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ! !! AZ !! BI !! FT !! KL !! KO !! MZ !! RB !! SP !! TR |- |AZ ||

|| || |||| || || || || |- |BI || || || |||| || || || || |- |FT || || || |||| || || || || |- |KL || || || |||| || || || || |- |KO || || || |||| || || || || |- |MZ || || || |||| || || || || |- |RB || || || |||| || || || || |- |SP || || || |||| || || || || |- |TR || || || |||| || || || || |}

Die Klassenkameraden haben im vorigen Woche eine Vollständige Graphen vorgestellt und Grundbegriffe der Graphentheorie erklärt.

Ein Graph heißt vollständig, wenn jede Ecke mit jeder anderen durch genau eine Kante verbunden ist. Das heißt, bei einem vollständigen Graphen sind je zwei Ecken verbunden, aber nur durch eine Kante. Der vollständige Graph mit n Ecken wird mit K_n bezeichnet.

Dagegen möchten wir heute andere Typen von Graphen vorstellen.
1. Bipartite Graphen.
2. Gerichtete Graphen und Multigraphen
3. Bewertete Graphen
4. Bäume und Wälder
5. Gozinto-Graphen

Bipartite Graphen

Ein bipartiter oder paarer Graph ist ein mathematisches Modell für Beziehungen zwischen den Elementen zweier Mengen.

Definitionen

Bipartiter Graph
Ein Graph G = (V,E) (V Menge der Knoten, E Menge der Kanten) heißt bipartit, wenn man seine Knoten so in zwei Teilmengen S und T aufteilen kann, das gilt:

S und T besitzen keine gemeinsames Element (disjunkt) und ergeben zusammen alle Knoten
Kanten verlaufen immer nur von einer Teilmenge zur Anderen.
Zwischen den Knoten, innerhalb beider Teilmengen, verlaufen keine Kanten

Vollständig Bipartit

Der Graph G heißt vollständig bipartit, wenn jeder Knoten aus S mit jedem Knoten aus T verbunden ist. Einen solchen Graphen bezeichnet man auch als K{m,n}, wobei m und n jeweils die Anzahl der Knoten von S und T sind. Die Kantenanzahl des vollständigen bipartiten Graphen lässt sich mit folgender Formel berechnen:

Ein vollständig bipartiter Graph, bei dem m=1 oder n=1 ist, heißt Sterngraph.

n-partit

Ein n- partiter Graph G = (V,E) ist ein Graph, dessen Knotenmenge in n Teilmengen unterteilt werden kann, sodass es keine Kante zwischen zwei Knoten der selben Teilmenge gibt. Einen n-partiten Graph mit maximal möglicher Kantenzahl nennt man ebenfalls vollständig n-partit und bezeichnet ihn mit K{r...rn}

Eigenschaften

Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn es keinen aus einer ungeraden Anzahl von Kanten bestehenden geschlossenen Weg gibt.
Bei einem zusammenhaengenden bipartiten Graphen ist die Zerlegung V=S u T eindeutig bestimmt.
Ist G=(V,E) bipartit mit V = S u T , so gilt:
Bei einem aus einer geraden Anzahl von Kanten bestehenden Weg gehoeren Start- und Endpunkt zur selben Menge S oder T, bei einem aus einer ungeraden Anzahl von Kanten bestehenden Weg gehoeren Start- und Endpunkt zu verschiedenen Mengen.

Anwendung (Vorzeigen)

Biparität eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen (Optimierungsproblem). Des Weiteren lassen sich für bipartite Graphen viele Grapheneigenschaften mit deutlich weniger Aufwand berechnen als dies im allgemeinen Fall möglich ist.

Beispiel zu Bipartität In einem Dorf gibt es drei Häuser und drei Brunnen. Jedes der Häuser soll nun mit jedem der Brunnen durch einen Weg verbunden werden. Modelliert man dieses Problem mithilfe eines Graphen.

Dieser Graph kommt auch als sogenannter GEW-Graph vor. Dieser Name basiert auf einer äquivalenten Realisierung des Problems mit drei Häusern und Werken für Gas, Elektrizität und Wasser.
Die Menge der 6 Knoten lässt sich in 2 Teilmengen einteilen: die Häuser und die Brunnen. Dazwischen werden Kanten gezeichnet, aber innerhalb der Teilmengen finden sich keine Kanten: Kein Haus soll etwa mit einem anderen verbundenwerden.

Übung

Konstruktion einer Zerlegung V = S u T (evtl als Übung)

- durch Markierung der Knoten eines zusammenhängenden (ungerichteten) Graphen:

Markiere einen (beliebigen) Startknoten mit s.
Markiere alle Nachbarknoten des Startknotens mit t.
Markiere alle noch unmarkierten Knoten, die einen mit t markierten Nachbarknoten haben, mit s, sowie alle noch unmarkierten Knoten, die einen mit s markierten Nachbarknoten haben, mit t.
Wiederhole Schritt 3 so lange, bis entweder

- alle Knoten markiert sind oder
- zwei benachbarte Knoten die gleiche Markierung haben.In diesem Fall ist der Graph nicht bipartit und der Algorithmus kann abgebrochen werden.

Kantenanzahl des vollständigen bipartiten Graphen

Die Anzahl der Graphen mit n = 1,2,,... Knoten betragt 1, 2, 3, 7, 13, 35, 88, 303

Die Anzahl der Verbindung für n = 1,2,... betragt 1,1,1,3,5,17,44.

Anwendungen

Beispiel 1 : Parlamentsproblem

gegeben:

eine Menge P = { p1,...,pk } von Personen
eine Menge M = { g1,...,gn } von Gruppen, wobei jede Gruppe eine Teilmenge von P

gesucht:

eine Auswahl von n Personen, wobei jede Person als Repräsentant einer Gruppe fungiert

_____________________________________________

je Gruppe gibt es einen weißen Knoten
je Person gibt es einen gelben Knoten
zwischen einem weißen und einem gelben Knoten gibt es genau
dann eine Kante, falls die jeweilige Person Mitglied der Gruppe ist

offenbar kann man das Parlamentsproblem für dieses Beispiel lösen
offenbar genügt es ein Matching zu finden, welches genauso viele
Kanten hat, wie es Gruppen gibt

Gerichtete Graphen und Multigraphen

Bewertete Graphen

Bäume und Wälder

Eine fuer Anwendungen sehr wichtige Klasse von Graphen sind Bäume. In vielen Febieten wie, z.B beim Compilerbau oder bei Datenbanksystem werden sie haeuftig zur Darstellung von hierarchischen Beziehungen verwendet. In diesem Teil werden Anwendungen auf Bäumen besierender Sortieralgorithmus vorgestellt und eine effiziente Realisierung von Vorrang-Warteschlangen diskutiert. Ferner werden zwei Algorithmen zur Bestimmung von minimalen aufspannenden Bäumen und ein Verfahren zur Datenkompression beschreiben.

Ein (ungerichteter) Graph ist ein Baum, wenn er zusammenhängend ist und keinen Kreis enthält.

Die Abbildung zeigt drei Bäume, die zusammen einen Wald bilden. Also ein (ungerichteter) Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind, wird ein Wald genannt, d.h. jeder kreisfreie Graph ist ein Wald.

Satz: Sei G = (V, E) ein Graph, dann sind die folgenden drei Bedingungen aquivalent:
1. G ist ein Baum.
2. Je zwei Ecken von G sind durch genau einen Weg verbunden.
3. G ist zusammenhängend und |E| = |V| − 1

Für den Informatiker sind Bäume ein sehr wichtiges Werkzeug.
Dabei stellt die Tatsache, daß sich eine Reihe praktischer Problemstellungen auf die Konstruktion von aufspannenden Bäume (bzw. Wäldern)zurückführen lassen, nur einen Teilaspekt des gesamten Anwendungsspektrums dar.
In der theoretischen Informatik dienen
sogenannte Entscheidungsbäume als Modell für Berechnungen.
Schließlich spielen
Bäume als Datenstruktur für Such- und Sortierprozesse eine wichtige Rolle

Beispiel 1

Beispiel 2

Die folgende Abbildung zeigt die Liste aller Baume mit 6 Knoten

Gozinto-Graphen

Zusammenfassung

Ein Graph besteht aus
– Knoten
– Kanten
Knoten sind einfache Objekte mit Namen.
Sie können Werte, Eigenschaften, etc. beinhalten.
Sie werden meist als Kreise dargestellt.
Kanten sind Verbindungen zwischen Knoten.
Sie werden durch Pfeile dargestellt.
Multigraph: Es kann mehr als eine Kante zwischen denselben Knoten geben.
Existiert für mind. ein Paar (x,y) kein Paar (y,x),so nennt man den Graphen gerichtet.
Bei einem bewerteten Graphen ist jeder Kante ein Wert zugeordnet.
Existiert für jedes Paar (x,y) auch ein Paar (y,x), so nennt man den Graphen ungerichtet.

Bibliografie

André Krischke, Helge Röpcke - Graphen und Netzwerktheorie

http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Typen_von_Graphen_in_der_Graphentheorie.html#Wichtige_spezielle_Graphen

https://de.wikipedia.org/wiki/Graphentheorie
http://www2.cs.uni-paderborn.de/cs/ag-klbue/de/courses/ws09/model/folien/kb-graphen.pdf
http://wvsg.schulen2.regensburg.de/joomla/images/Faecher/Informatik/Informatik_11/informatik_11_3_1_Einfache%20Graphen.html
http://www14.in.tum.de/lehre/2010WS/ds/2011-02-01.pdf
https://www2.informatik.hu-berlin.de/alkox/lehre/lvss03/ti03/vl1507.pdf http://www.stefan-enderle.de/SS08/GrundlagenDerInformatik-II-3-Graphen.pdf

http://mathworld.wolfram.com/BipartiteGraph.html

Grundbegriffe der Graphentheorie 2

Inhaltsverzeichnis

Die Einführung und eine kleine Wiederholung

UBUNG

Bipartite Graphen

Definitionen

Vollständig Bipartit

n-partit

Eigenschaften

Anwendung (Vorzeigen)

Übung

Konstruktion einer Zerlegung V = S u T (evtl als Übung)

Kantenanzahl des vollständigen bipartiten Graphen

Anwendungen

Beispiel 1 : Parlamentsproblem

Gerichtete Graphen und Multigraphen

Bewertete Graphen

Bäume und Wälder

Beispiel 1

Beispiel 2

Gozinto-Graphen

Zusammenfassung

Bibliografie

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