Inhaltsverzeichnis 1 Die Einführung und eine kleine Wiederholung 2 Bipartite Graphen(2-Teiliger Graph) 2.1 Definitionen 2.2 Beispiel 2.3 Kantenanzahl des vollständigen bipartiten Graphen 2.4 Eigenschaften 2.5 Konstruktion einer Zerlegung V = S u T 2.6 Matchings 2.7 Nsdkhnsdlk 2.8 Der n-partiteGraph 3 Gerichtete Graphen 3.1 Definition 3.2 Multigraphen 4 Bewertete Graphen 5 Bäume und Wälder 5.1 Beispiel 1 5.2 Beispiel 2 6 Gozinto-Graphen 7 Zusammenfassung 8 Bibliografie

Maik Geier, Anna Bremensztul

Die Einführung und eine kleine Wiederholung

Die Klassenkameraden haben im vorigen Woche eine Vollständige Graphen vorgestellt und Grundbegriffe der Graphentheorie erklärt.

Dagegen möchten wir heute andere Typen von Graphen vorstellen.
1. Bipartite Graphen.
2. Gerichtete Graphen und Multigraphen
3. Bewertete Graphen
4. Bäume und Wälder
5. Gozinto-Graphen

Aber am Amfang möchten wir sichere Begriffe erklären oder wiederholen.

Was bedeutet die Begriffe Graphentheorie und Graph?

• Die Graphentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Eigenschaften von Graphen und ihre Beziehungen zueinander untersucht.
  Ein Graph besteht aus einer Menge von Punkten (Knoten,Ecken) zwischen denen Linien(Kanten, Bögen) verlaufen.

Wo können wir die verschiedene Graphen benutzen?

„In der Mathematik ist die Kunst des Fragestellens öfter gebräuchlich als die des Lösens!“

• Verkehrswege zwischen Städten – kürzeste Wege
  
• Transportwege mit Kapazitäten – maximale Flüsse
  
• Zugmöglichkeiten in Spielen – Gewinnstrategien
  
• Beispiele dafür sind auch die Netzwerke(Verkehr, Daten), Datenstrukturen oder Rechnerarchitektur.

Wir können verschiedene Darstellungen von Graphen benutzen:
1. Darstellung als Zeichnung:

2. Darstellung als Adjazenzmatrix
Jedem Knoten wird eine Zeile und eine Spalte zugeordnet und der Eintrag in der Zeile von u und der Spalte von v wird 1 gesetzt, wenn {u, v} eine Kante des Graphen ist (sonst 0):

3. Darstellung als Adjazenzliste.
Für jeden Knoten wird die Liste seiner Nachbarn angegeben (Liste von Listen): 1 : 2; 2 : 1, 4, 5; 3 : 4, 5; 4 : 2, 3, 5; 5 : 2, 3, 4; oder mit anderer Syntax (2),(1, 4, 5),(4, 5),(2, 3, 5),(2, 3, 4)

4. Darstellung als Inzidenzmatrix. Darstellung als Inzidenzmatrix. Jedem Knoten wird eine Zeile und jeder Kante eine Spalte zugeordnet und der Eintrag in der Zeile von u und der Spalte von e wird 1 gesetzt, wenn u eine Ecke der Kante e ist (sonst 0):

Für die Behandlung algorithmischer Probleme sind oft Adjazenzlisten die Datenstruktur der Wahl, weil sie die wahre Größe eines Graphen (Anzahl der Kanten) widerspiegeln.

Bipartite Graphen(2-Teiliger Graph)

Definitionen

Ein Graph G=(V,E) (V Menge der Knoten, E Menge der Kanten) heißt bipartit, wenn man seine Knoten so in zwei Teilmengen V1 und V2 aufteilen kann, das gilt:

• V1 und V2 besitzen keine gemeinsames Element (disjunkt) und ergeben zusammen alle Ecken
• Kanten verlaufen immer nur von einer Teilmenge zur Anderen, zwischen den Knoten innerhalb beider Teilmengen verlaufen keine Kanten

Der Graph G heißt vollständig bipartit, falls eine Bipartition V1 zu V2 existiert, sodass jeder Knoten aus V1 mit jedem Knoten aus V2 verbunden ist. Einen solchen Graphen bezeichnet man auch als K{m,n}, wobei m und n jeweils die Anzahl der Knoten von V1 und V2 sind.
Ein vollständig bipartiter Graph, bei dem m=1 oder n=1 ist, heißt Sterngraph.

Beispiel

In einem Dorf gibt es drei Häuser und drei Brunnen. Jedes der Häuser soll nun mit jedem der Brunnen durch einen Weg verbunden werden. Modelliert man dieses Problem mithilfe eines Graphen.

• Dieser Graph kommt auch als sogenannter GEW-Graph vor. Dieser Name basiert auf einer äquivalenten Realisierung des Problems mit drei Häusern und Werken für Gas, Elektrizität und Wasser.

• Die Menge der 6 Knoten lässt sich in 2 Teilmengen einteilen: die Häuser und die Brunnen. Dazwischen werden Kanten gezeichnet, aber innerhalb der Teilmengen finden sich keine Kanten: Kein Haus soll etwa mit einem anderen verbundenwerden.

Kantenanzahl des vollständigen bipartiten Graphen

Die Anzahl der Graphen mit n =1,2,,... Knoten betragt 1, 2, 3, 7, 13, 35, 88, 303

Die Anzahl der Verbindung für n = 1,2,... betragt 1,1,1,3,5,17,44.

Eigenschaften

• Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn es keinen aus einer ungeraden Anzahl von Kanten bestehenden geschlossenen Weg gibt.

• Bei einem zusammenhaengenden bipartiten Graphen ist die Zerlegung V=S u T eindeutig bestimmt.
• Ist G=(V,E) bipartit mit V = S u T , so gilt:

  Bei einem aus einer geraden Anzahl von Kanten bestehenden Weg gehoeren Start- und Endpunkt zur selben Menge S oder T, bei einem aus einer ungeraden Anzahl von Kanten bestehenden Weg gehoeren Start- und Endpunkt zu verschiedenen Mengen.
  

• Ein regulärer bipartiter Graph besitzt ein perfektes Matching.

Konstruktion einer Zerlegung V = S u T

- durch Markierung der Knoten eines zusammenhängenden (ungerichteten) Graphen:

1. Markiere einen (beliebigen) Startknoten mit s.
   
2. Markiere alle Nachbarknoten des Startknotens mit t.
   
3. Markiere alle noch unmarkierten Knoten, die einen mit t markierten Nachbarknoten haben, mit s, sowie alle noch unmarkierten Knoten, die einen mit s markierten Nachbarknoten haben, mit t.
   
4. Wiederhole Schritt 3 so lange, bis entweder
   

- alle Knoten markiert sind oder
- zwei benachbarte Knoten die gleiche Markierung haben.In diesem Fall ist der Graph nicht bipartit und der Algorithmus kann abgebrochen werden.

Matchings

Sei G = (V,E) bipartit mit V = S u T

1. Ein Matching (oder Paarung) ist eine Teilmange E0 gehoert zu E der Kantenmenge, so dass jeder Knoten mit maximal einer Kante aus E_0 inzident ist.
   
2. Ein Matching heisst maximal, wenn es kein anderes Matching gibt, das mehr Kanten enthält.
   
3. Eine vollständige Paarung ist ein Matching E0, so dass jeder Knoten mit einer Kante aus E0 inzident ist.
   

Abbildung: Benutzung des Flusses in einem Netzwerk zur Bestimmung einer maximalen Paarung in einem bipartiten Graph.

Eigenschaft 34.1 Eine maximale Paarung in einem bipartiten Graph kann in O(V³) Schritten gefunden werden, falls der Graph dicht ist, oder in O(V(E + V) log V) Schritten, wenn der Graph licht ist.

Nsdkhnsdlk

DISKRETE MATHEMATIK
Erich Prisner
Sommersemester 2000

(ungerichtete) Graphen

Definition: Eine Menge V, zusammen mit einer irreflexiven und symmetrischen Relation Adj auf V wird ungerichteter Graph genannt.

Die Elemente von V heißen Ecken. Ist (x,y) Î Adj, so heißen x und y adjazent (oder benachbart). Wird definieren eine Menge E von zweielementigen Teilmengen von V durch {x,y} Î E falls (x,y) Î Adj. Die Elemente von E werden (ungerichtete) Kanten genannt. "V" und "E" kommen von den englischen Worten "vertices" und "edges" und sind völlig üblich. "{x,y} Î E" kürzt man oft auf "xy Î E" ab. In der Digraphen-Darstellung eines Graphen gibt es keine Schlingen, und zu jeder gerichteten Kante (x,y) gibt es auch die Gegenrichtung (y,x). Deshalb wird die Darstellung fast immer vereinfacht, indem je zwei antiparallel gerichtete Kanten durch eine (richtungslose) Linie zwischen den Ecken ersetzt werden. Anstatt der Darstellung rechts oben nimmt man also die einfachere Darstellung rechts unten. Natürlich ist |E| = 2|Adj| gleich der Anzahl dieser Linien.

Graphen "sind" Strukturen, die aus einer Menge V und einer Menge E zweielementiger Teilmengen von E bestehen. Diese Beschreibung ist üblicher als die oben.

G sei ein Graph mit Eckenmenge V und Kantenmenge E. Der Grad dG(x) einer Ecke x Î V ist die Zahl der Kanten zv mit x=z oder x=v, d.h. die Zahl der Ecken y Î V mit {x,y} Î Adj. Diese Zahl kann auch eine unendliche Kardinalzahl sein.

Mittels Doppelte Abzählung ergibt sich sofort:
Die Zahl der Ecken ungeraden Grades in jedem endlichen Graphen ist gerade.

G sei ein Graph mit Eckenmenge V und Adjazenzrelation Adj. G ist zusammenhängend, falls er, betrachtet als Digraph, stark zusammenhängend ist. Andernfalls werden die starken Zusammenhangskomponenten des Digraphen als (Zusammenhangs-) Komponenten des Graphen bezeichnet.

Ein Graph ist bipartit, falls es eine Partition der Eckenmenge in zwei Mengen A und B gibt, so daß jede Kante zwischen einer Ecke aus A und einer Ecke aus B verläuft.

Bipartite Graphen lassen sich algorithmisch schnell erkennen und die Bipartition erzeugen. Ein Beispiel eines Problems, das auf den zweiten Blick auf genau diese Bestimmung der Bipartition eines bipartiten Graphen hinausläft.

Ein Weg (von x₀ nach x_k) in einem Graphen ist eine endliche Folge x₀, x₁, ... , x_k verschiedener Ecken bei denen je zwei aufeinanderfolgende --- x_i und x_i+1 --- benachbart sind. Bei einem Kreis müssen zusätzlich auch noch x_k und x₀ benachbart sein (der Weg schließt sich zum Kreis). Die Länge eines Kreises bzw. Weges ist gleich der Anzahl der beteiligten Ecken, bzw. diese Anzahl minus eins.

Zwei Ecken x, y eines Graphen liegen genau dann in derselben Zusammenhangskomponente, falls es einen Weg von x nach y gibt.

Der Abstand d_G(x,y) zweier Ecken

x und y in einem Graphen G ist die kürzeste Länge eines Weges von x nach y falls es solche Wege überhaupt gibt (d.h. falls x und y in derselben Komponente liegen). Andernfalls sagen wir, der Abstand ist unendlich. Beachten Sie folgende Eigenschaften des Abstands:
d_G(x,y)=0 genau dann wenn x = y,
d_G(x,y) = d_G(y,x) (Symmetrie des Abstands), und
d_G(x,z) Ł d_G(x,y) + d_G(y,z) (die sogenannte Dreiecksungleichung).

Sehr viele Probleme, bei denen man es zuerst nicht vermutet, lassen sich als Abstandsprobleme in Graphen umformulieren. Beispiele sind das bekannte "Türme von Hanoi"-Rätsel, aber etwa auch gewisse Reihenfolgerätsel, siehe auch diese interessante externe Seite über das 3-Gläser-Problem, (das aber mit Digraphen modelliert wird).

Es gibt eine interessante Charakterisierung bipartiter Graphen mittels Weglängen:

Ein Graph ist genau dann bipartit, falls es in ihm keine Kreise ungerader Länge gibt.

Beweis: (1) Sei G bipartit mit Bipartition A und B der Eckenmenge. Die Ecken jedes Kreises müssen abwechselnd in A und B liegen, weshalb die Länge gerade sein muß. (2) Ist umgekehrt G ohne Kreise ungerader Länge, dann zeigen wir, wie wir in jeder Zusammenhangskomponente Q von G eine solche Bipartion der Eckenmenge finden können. Da keine Kanten zwischen Zusammenhangskomponenten verlaufen können, setzen sich diese Bipartitionen der Komponenten zu einer zulässigen Bipartition der gesamten Eckenmenge zusammen. Wir wählen eine beliebige Ecke x in Q und definieren A als die Menge der Ecken y in Q mit dG(x,y) gerade, und B als die Menge der Ecken y in Q mit dG(x,y) ungerade. Nehmen wir an (*), diese Bipartition der Eckenmenge von Q erfülle obige Eigenschaft nicht, d.h. es gäbe oBdA benachbarte Ecken y, z in A. Dann sind beide Zahlen dG(x,y) und dG(x,z) gerade. Andererseits folgt wegen dG(y,z)=1 (mit Hilfe obiger Dreiecksungleichung) der Widerspruch |dG(x,y) - dG(x,z)| Ł 1. Also ist Annahme (*) falsch, und die Bipartion OK.

Breadth First Search BFS

Zusammenhang, Bipartität, Abstände von einer festen Ecke lassen sich für endliche Graphen mit Varianten eines einzigen Grundalgorithmus berechnen. Wir starten mit einer festen Ecke x₀, die die Marke "0" erhält. Alle Nachbarn von x₀ erhalten die Marke "1". Alle noch unmarkierten Nachbarn (d.h. m=-1) von Ecken mit Marke "1" erhalten die Marke "2", usw. Abgebrochen wird, wenn es für ein i keine unmarkierten Nachbarn von Ecken mit Marke i gibt.

1. Setze m(y) := -1 für alle Ecken y.
2. d := 0; m(x₀) := 0; NewMembers := {x₀};
3. while (NewMembers š Ć) {
   • NewMembers := Ć;
   • for ("y: m(y)=d) for ("z: (z,y) Î Adj) if (m(z) == -1) {
     • NewMembers := NewMembers Č{z};
     • m(z) := d+1; }
   • d := d+1; }
4. Ausgabe von m; STOP;

Nun sind die Ecken mit Marke i gerade alle Ecken y mit d_G(x₀,y) = i. Gibt es am Schluß noch unmarkierte Ecken, so sind das die, die unendlichen Abstand zu x₀ haben---genau dann ist G nicht zusammenhängend. Beachten Sie, daß die Markierungen der beiden Ecken jeder Kante höchstens um 1 unterscheiden können. Gibt es Kanten bei denen beide Ecken dieselbe Markierung haben, dann haben wir einen ungeraden Kreis und G ist nicht bipartit, andernfalls, falls es keine solche Kanten gibt, ist die Komponente von G, die x₀ enthält, bipartit.

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Übungsaufgabe: für eine beliebige natürliche Zahl n definieren wir den Graphen H_n auf der Eckenmenge V aller 0-1 Worte der Länge n (d.h. auf {0,1}ⁿ): Zwei Worte sind genau dann benachbart, wenn sie sich in genau einer Koordinate unterscheiden. Zeigen Sie, daß dieser Graph zusammenhängend und bipartit ist, daß der Abstand zweier beliebiger Ecken hüchstens gleich n ist, und skizzieren Sie H₄.

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Test

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Jetzt könnten Sie sich spezielle Probleme auf Graphen anschauen, wie etwa Euler'sche Linien, oder ...

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Erich Prisner
File partially translated from T_EX by T _TH, version 2.53.
erstellt im Februar 2000.

Der n-partiteGraph

Ein n- partiter Graph ist ein Graph, dessen Knotenmenge in k Partitionen unterteilt werden kann, sodass es keine Kante zwischen zwei Knoten einer Partition gibt.

Gerichtete Graphen

Die Abbildung zeigt einen ungerichteten Graph , da alle Kanten ungerichtet sind und gerichteten Graph ,da alle Kanten gerichtet sind, d.h. nur in einer Richtung befahrbar.

Zu jedem ungerichteten Graphen G sind auf diese Weise verschiedene gerichtete Graphen assoziiert. Der Graph K1 etwa, als ungerichteter Graph eindeutig bestimmt,kann auf verschiedene Weise zu einem gerichteten Graphen gemacht werden; aus kombinatorischen Gründen ergibt sich, dass es genau acht solche zu K1 assoziierte gerichtete Graphen geben kann, denn jede der drei Kanten kann als Pfeil in zwei Richtungen orientiert sein. Alle bisher eingeführten Begriffe können auf gerichtete Graphen ausgedehnt werden.

Definition

Ein gerichteter Graph G = (V, E) hat eine endliche Menge V von Knoten und eine Menge E gerichteter Kanten, mit E ⊆ V × V.

Die Kantenmenge E ist eine 2-stellige Relation über V. Beispiel: V = {a, b, c, d} E = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, c), (d, b), (d, c)}

Eine Kante wird als (v, u) oder v -> u notiert. Eine Kante (v, v) heißt Schleife oder Schlinge.
Die Definition von Graphen schränkt ein auf
• endliche Graphen mit endlichen Knotenmengen,
• einfache Kanten:
+ eine Kante verbindet nicht mehr als zwei Knoten,
+ zwischen zwei Knoten gibt es höchstens eine Kante

Multigraphen

Beim ältesten aller Graphentheorieprobleme,tauchen auf natürliche Weise Mehrfachkanten auf, da es vorkommt, dass es zwischen zwei Landteilen zwei verschiedene Brücken gibt. Immer wenn es bei einem Graphen zwei oder mehr unterscheidbare Möglichkeiten gibt, auf die zwei Knoten verbunden werden können, spricht man von einem Multigraphen . Um die Graphen im Sinne auch von den Multigraphen abzugrenzen, wird manchmal der Begriff schlichter oder einfacher Graph verwendet.

Ein Multigraph ist ein Graph, der Mehrfachkanten und Schleifen enthalten darf.
Sei G = (V, E) Multigraph. Seien U, W Knotenteilmengen mit U, W 6= ∅ und V = U ∪˙ W.
(U, W) := { {u, w} | {u, w} ∈ E, u ∈ U, w ∈ W } heißt Cut.

Im Beispiel gibt es 60 Kanten zwischen Knoten A und D. Anstatt alle 60 Kanten zu zeichnen wird eine Kante mit dem Kantengewicht 60 gezeichnet.

Bewertete Graphen

Kantenbewertung eines Graphen
Ein gerichteter oder ungerichteter Graph G = (V,E) wird kantenbewertet (meist auch einfach bewertet oder gewichtet) genannt, falls jeder Kante aus E eine reelle Zahl zugeordnet ist, falls es also eine Abbildung b : E →R gibt. Für die Bewertung der Kante {u, v} schreiben wir dann kurz b(u, v).

Beispiel:  Annotation von Distanz, Flugzeit, Kosten,

Eine spezielle Art und Weise, Kanten zu bewerten oder auch Bewertungen zu visualisieren, besteht in der Färbung der Kanten. Bei solchen Kantenfärbungen werden also die Farben mit Zahlen identifiziert. Färbungsprobleme bestehen dann darin, solche Bewertungen zu finden, bei denen zusätzlich benachbarten Kanten nicht die gleiche Zahl zugeordnet werden darf.Damit beschäftigen wir uns ausführlich in Kapitel 8. Jeden nicht kantenbewerteten Graphen können wir künstlich als einen kantenbewerteten Graphen auffassen, indemjede Kante beispielsweisemit demWert 1 versehen wird. Wir hatten bereits einen kurzen Blick auf Wege in Graphen geworfen. Ein solcher Weg hat eine gewisse Länge, nämlich n, wenn er isomorph zu Pn ist. Dieser Längenbegriff motiviert nun einen Entfernungsbegriff in Graphen: Verbindet man zwei verschiedene Knoten in einem bewerteten Graphen durchWege und fasst die Bewertungen als Einzellängen der Kanten auf, so kann man jedem solchenWeg durch einfache Addition eine Länge zuordnen.

Bäume und Wälder

Ein (ungerichteter) Graph ist ein Baum, wenn er zusammenhängend ist und keinen Kreis enthält.

Die Abbildung zeigt drei Bäume, die zusammen einen Wald bilden. Also ein (ungerichteter) Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind, wird ein Wald genannt, d.h. jeder kreisfreie Graph ist ein Wald.

Satz: Sei G = (V, E) ein Graph, dann sind die folgenden drei Bedingungen aquivalent:
1. G ist ein Baum.
2. Je zwei Ecken von G sind durch genau einen Weg verbunden.
3. G ist zusammenhängend und |E| = |V| − 1

• Für den Informatiker sind Bäume ein sehr wichtiges Werkzeug.
• Dabei stellt die Tatsache, daß sich eine Reihe praktischer Problemstellungen auf die Konstruktion von aufspannenden Bäume (bzw. Wäldern)zurückführen lassen, nur einen Teilaspekt des gesamten Anwendungsspektrums dar.
• In der theoretischen Informatik dienen

  sogenannte Entscheidungsbäume als Modell für Berechnungen.

• Schließlich spielen

  Bäume als Datenstruktur für Such- und Sortierprozesse eine wichtige Rolle
  

Beispiel 1

Die folgende Abbildung zeigt einen aus vier Baeumen bestehenden Wald.

Beispiel 2

Die folgende Abbildung zeigt die Liste aller Baume mit 6 Knoten

Gozinto-Graphen

Zusammenfassung

Ein Graph besteht aus 
– Knoten
– Kanten
Knoten sind einfache Objekte mit Namen. 
Sie können Werte, Eigenschaften, etc. beinhalten.
Sie werden meist als Kreise dargestellt.
Kanten sind Verbindungen zwischen Knoten.
Sie werden durch Pfeile dargestellt.
Multigraph: Es kann mehr als eine Kante zwischen denselben Knoten geben.
Existiert für mind. ein Paar (x,y) kein Paar (y,x),so nennt man den Graphen gerichtet.
Bei einem  bewerteten Graphen ist jeder Kante ein Wert  zugeordnet. 
Existiert für jedes Paar (x,y) auch ein Paar (y,x), so nennt man den Graphen ungerichtet.

Bibliografie

André Krischke, Helge Röpcke - Graphen und Netzwerktheorie

http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Typen_von_Graphen_in_der_Graphentheorie.html#Wichtige_spezielle_Graphen

https://de.wikipedia.org/wiki/Graphentheorie
http://www2.cs.uni-paderborn.de/cs/ag-klbue/de/courses/ws09/model/folien/kb-graphen.pdf
http://wvsg.schulen2.regensburg.de/joomla/images/Faecher/Informatik/Informatik_11/informatik_11_3_1_Einfache%20Graphen.html
http://www14.in.tum.de/lehre/2010WS/ds/2011-02-01.pdf
https://www2.informatik.hu-berlin.de/alkox/lehre/lvss03/ti03/vl1507.pdf http://www.stefan-enderle.de/SS08/GrundlagenDerInformatik-II-3-Graphen.pdf

http://mathworld.wolfram.com/BipartiteGraph.html