Grundbegriffe der Graphentheorie 2
Inhaltsverzeichnis |
Maik Geier, Anna Bremensztul
Die Wiederholung
Was bedeutet die Begriffe Graphentheorie und Graph?
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Die Graphentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Eigenschaften von Graphen und ihre Beziehungen zueinander untersucht.
Ein Graph besteht aus einer Menge von Punkten (Knoten,Ecken) zwischen denen Linien(Kanten, Bögen) verlaufen.
Wo konnen wir die verschiedene Graphen benutzen?
„In der Mathematik ist die
Kunst des Fragestellens öfter gebräuchlich als die
des Lösens!“
Frank und Ralf haben Vollstaendige Graphen vorgestellt.
Wir moechten heute andere Typen von Graphen vorstellen.
1. Bipartite Graphen.
2. Gerichtete Graphen und Multigraphen
3. Bewertete Graphen
4. Bäume und Wälder
5. Gozinto-Graphen
Bipartite Graphen(2-Teiliger Graph)
Definitionen
Ein Graph G=(V,E) (V Menge der Knoten, E Menge der Kanten) heißt bipartit,wenn man seine Knoten so in zwei Teilmengen V1 und V2 aufteilen kann, das gilt:
- V1 und V2 besitzen keine gemeinsames Element (disjunkt) und ergeben zusammen alle Ecken
- Kanten verlaufen immer nur von einer Teilmenge zur Anderen, zwischen den Knoten innerhalb beider Teilmengen verlaufen keine Kanten
Der Graph G heißt vollständig bipartit, falls eine Bipartition V1 zu V2 existiert, sodass jeder Knoten aus V1 mit jedem Knoten aus V2 verbunden ist. Einen solchen Graphen bezeichnet man auch als K_{m,n}, wobei m und n jeweils die Anzahl der Knoten von V1 und V2 sind. Ein vollständig bipartiter Graph, bei dem m=1 oder n=1 ist, heißt Sterngraph.
Beispiel 1
In einem Dorf gibt es drei Häuser und drei Brunnen. Jedes der Häuser soll nun mit jedem der Brunnen durch einen Weg verbunden werden. Modelliert man dieses Problem mithilfe eines Graphen.
- Dieser Graph kommt auch als sogenannter GEW-Graph vor. Dieser Name basiert auf einer äquivalenten Realisierung des Problems mit drei mit drei Häusern und Werken für Gas, Elektrizität und Wasser.
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Die Menge der 6 Knoten lässt sich in 2 Teilmengen einteilen: die Häuser und die Brunnen. Dazwischen werden Kanten gezeichnet, aber innerhalb der Teilmengen finden sich keine Kanten: Kein Haus soll etwa mit einem anderen verbundenwerden.
Kantenanzahl des vollständigen bipartiten Graphen
Eigenschaften
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Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn es keinen aus einer ungeraden Anzahl von Kanten bestehenden geschlossenen Weg gibt.
- Bei einem zusammenhaengenden bipartiten Graphen ist die Zerlegung V=S u T eindeutig bestimmt.
- Ist G=(V,E) bipartit mit V = S u T , so gilt:
Bei einem aus einer geraden Anzahl von Kanten bestehenden Weg gehoeren Start- und Endpunkt zur selben Menge S oder T, bei einem aus einer ungeraden Anzahl von Kanten bestehenden Weg gehoeren Start- und Endpunkt zu verschiedenen Mengen.
Der n-partiteGraph
Ubung
Gerichtete Graphen
Die Abbildung zeigt einen ungerichteten Graph , da alle Kanten ungerichtet sind und gerichteten Graph ,da alle Kanten gerichtet sind, d.h. nur in einer Richtung befahrbar.
Zu jedem ungerichteten Graphen G sind auf diese Weise verschiedene gerichtete Graphen assoziiert. Der Graph K1 etwa, als ungerichteter Graph eindeutig bestimmt,kann auf verschiedene Weise zu einem gerichteten Graphen gemacht werden; aus kombinatorischen Gründen ergibt sich, dass es genau acht solche zu K1 assoziierte gerichtete Graphen geben kann, denn jede der drei Kanten kann als Pfeil in zwei Richtungen orientiert sein. Alle bisher eingeführten Begriffe können auf gerichtete Graphen ausgedehnt werden.
Definition
Ein gerichteter Graph G = (V, E) hat eine endliche Menge V von Knoten und eine Menge E gerichteter Kanten, mit E ⊆ V × V.
Die Kantenmenge E ist eine 2-stellige Relation über V. Beispiel: V = {a, b, c, d} E = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, c), (d, b), (d, c)}
Eine Kante wird als (v, u) oder v -> u notiert. Eine Kante (v, v) heißt Schleife oder Schlinge.
Die Definition von Graphen schränkt ein auf
• endliche Graphen mit endlichen Knotenmengen,
• einfache Kanten:
+ eine Kante verbindet nicht mehr als zwei Knoten,
+ zwischen zwei Knoten gibt es höchstens eine Kante
Multigraphen
Beim ältesten aller Graphentheorieprobleme,tauchen auf natürliche Weise Mehrfachkanten auf, da es vorkommt, dass es zwischen zwei Landteilen zwei verschiedene Brücken gibt. Immer wenn es bei einem Graphen zwei oder mehr unterscheidbare Möglichkeiten gibt, auf die zwei Knoten verbunden werden können, spricht man von einem Multigraphen . Um die Graphen im Sinne auch von den Multigraphen abzugrenzen, wird manchmal der Begriff schlichter oder einfacher Graph verwendet.
Ein Multigraph ist ein Graph, der Mehrfachkanten und Schleifen enthalten darf.
Sei G = (V, E) Multigraph. Seien U, W Knotenteilmengen
mit U, W 6= ∅ und V = U ∪˙ W.
(U, W) := { {u, w} | {u, w} ∈ E, u ∈ U, w ∈ W } heißt Cut.
Zusammenfassung
Multigraph: Es kann mehr als eine Kante zwischen denselben Knoten geben.
Bibliografie
André Krischke, Helge Röpcke - Graphen und Netzwerktheorie
https://de.wikipedia.org/wiki/Graphentheorie
http://www2.cs.uni-paderborn.de/cs/ag-klbue/de/courses/ws09/model/folien/kb-graphen.pdf
http://wvsg.schulen2.regensburg.de/joomla/images/Faecher/Informatik/Informatik_11/informatik_11_3_1_Einfache%20Graphen.html
http://www14.in.tum.de/lehre/2010WS/ds/2011-02-01.pdf
https://www2.informatik.hu-berlin.de/alkox/lehre/lvss03/ti03/vl1507.pdf