Vorlesung 1

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Inhaltsverzeichnis

Indirekter Beweis

Aufgabe 1

Beweisen Sie indirekt, dass x eine gerade Zahl ist, wenn x^2 eine gerade Zahl ist. Wobei x \in{\mathbb N}.

z.z. Wenn x^2 gerade, dann x gerade. x \in{\mathbb N}

Annahme: Wenn x^2 gerade, dann x ungerade.

Beiweis

A = x^2 ist gerade

B = x ist gerade

AB\overline{A}\overline{B}A \Rightarrow BA \Rightarrow \overline{B}\neg(A \Rightarrow B)Info
| WWFFWFFfällt weg, weil \overline{B} falsch
| WFFWFWW
| FWWFWWFfällt weg, weil A falsch
| FFWWWWFfällt weg, weil A falsch

In der zweiten Zeile wird der Widerspruch deutlich:

Sowohl die Annahme A \Rightarrow \overline{B} (x ist ungerade, wenn x^2 gerade ist)

als auch die Aussage \neg(A \Rightarrow B) (Wenn x^2 nicht gerade ist, dann ist x nicht gerade.)

sind wahr. Damit wäre x gleichzeitig gerade und ungerade, wenn x^2 eine gerade Zahl ist.

Damit ist die Annahme falsch und bewiesen, dass x eine gerade Zahl ist, wenn x^2 eine gerade Zahl ist.

Aufgabe 2 und 3

2) Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und \overline{C} die

Gültigkeiten von \overline{A} und \overline{B} folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Wahrheitstafel dar.

3) Was kann man aus der Gültigkeit von A und B schließen, wenn bekannt ist, dass A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und C gelten?

Verwenden Sie die Tafel aus Aufgabe 2.

ZeileABC\overline{A}\overline{B}\overline{C}A \Rightarrow BB \Rightarrow C23
| 1WWWFFFWWx
| 2WWFFFWWF
| 3WFWFWFFW
| 4WFFFWWFW
| 5FWWWFFWWx
| 6FWFWFWWF
| 7FFWWWFWWx
| 8FFFWWWWWx

Lösung Aufgabe 2:

Nur in Zeile 8 gelten sowohl A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und \overline{C}.

Damit geht einher, dass dort \overline{A} und \overline{B} gelten.

Lösung Aufgabe 3:

In den Zeilen 1,5 und 7 sind die Aussagen A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und C gültig.

Die daraus folgenden Gültigkeiten für A und B sind folgende:

  • A und B sind gültig
  • A gilt nicht, aber B gilt
  • A und B gelten beide nicht

Daraus folgt, dass es den Fall A gilt, aber B gilt nicht, nicht geben kann.

Äquivalenzrelationen

Aufgabe: Wiederholen Sie die Eigenschaften von Aquivalenzrelationen und geben Sie ein Beispiel an.

Äquivalenzrelationen besitzen drei Eigenschaften:

  • Reflexivität a \sim a (Jedes Objekt ist zu sich selbst äquivalent.)
  • Symmetrie a \sim b \Rightarrow b \sim a (Wenn a äquivalent zu b ist, dann ist auch b äquivalent zu a.)
  • Transitivität a \sim b und b \sim c \Rightarrow a \sim c (Wenn a äquivalent zu b und b äquivalent zu c ist, dann ist auch a äquivalent zu c.)

Beispiel

Bücheridentifikation anhand der ISBN-Nummern

  • reflexiv: Ein Buch hat genau eine ISBN, die sich nicht ändert und eindeutig ist. Daher hat ein Buch a die gleiche ISBN wie Buch a.
  • symmetrisch: Wenn Buch a die gleiche ISBN wie Buch b hat, dann hat auch Buch b die gleiche ISBN wie Buch a.
  • transitiv: Wenn Buch a die gleiche ISBN wie Buch b hat und Buch b die gleiche ISBN wie Buch c hat, hat auch Buch a die gleiche ISBN wie Buch c.


Funktionen


Partielle Funktion

$q(x)=\begin{cases}

 \dfrac{35}{x-3},  & \text{wenn }x \neq 3\text{;}\\
 \bot, & \text{sonst.}

\end{cases} $

Aufgabe: Schreiben Sie ein Programm, das q berechnet.



Aufgabe 2
Geben Sie sich einige Definitionsbeispiele selbstgewählter
Funktionen vor. Achten Sie darauf, dass es sich auch um
(echte) partielle Funktionen handeln kann. Außerdem sollten
Sie einige abschnittsweise definierte Funktionen, z.B.
Briefporto, Zuzahlungen für Medikamente usw., aufnehmen.
Beispiel Briefporto:
$briefporto(g) = \begin{cases} 
0.62, & \text{wenn } g \leq 20\\
0.85, & \text{wenn } 20 \lt g \leq 50\\
1.45, & \text{wenn } 50 \lt g \leq 500\\
2.40, & \text{wenn } 500 \lt g \leq 1000\\
\bot,&\text{sonst.}
\end{cases}$
Aufgabe 3