Vorlesung 1
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Übungsaufgaben Vorlesung 1
Indirekter Beweis
Aufgabe 1
Beweisen Sie indirekt, dass x eine gerade Zahl ist, wenn x^2 eine gerade Zahl ist. Wobei x \in{\mathbb N}.
z.z. Wenn x^2 gerade, dann x gerade. x \in{\mathbb N}
Annahme: Wenn x^2 gerade, dann x ungerade.
Beiweis
A = x^2 ist gerade
B = x ist gerade
| A | B | \overline{A} | \overline{B} | A \Rightarrow B | A \Rightarrow \overline{B} | \neg(A \Rightarrow B) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| | W | W | F | F | W | F | F |
| | W | F | F | W | F | W | W |
| | F | W | W | F | W | W | F |
| | F | F | W | W | W | W | F |
Aufgabe 2 und 3
2) Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und \overline{C} die
Gültigkeiten von \overline{A} und \overline{B} folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Wahrheitstafel dar.
3) Was kann man aus der Gültigkeit von A und B schließen, wenn bekannt ist, dass A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und C gelten?
Verwenden Sie die Tafel aus Aufgabe 2.
| Zeile | A | B | C | \overline{A} | \overline{B} | \overline{C} | A \Rightarrow B | B \Rightarrow C | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| | 1 | W | W | W | F | F | F | W | W | x | |
| | 2 | W | W | F | F | F | W | W | F | ||
| | 3 | W | F | W | F | W | F | F | W | ||
| | 4 | W | F | F | F | W | W | F | W | ||
| | 5 | F | W | W | W | F | F | W | W | x | |
| | 6 | F | W | F | W | F | W | W | F | ||
| | 7 | F | F | W | W | W | F | W | W | x | |
| | 8 | F | F | F | W | W | W | W | W | x | |
Lösung Aufgabe 2:
Nur in Zeile 8 gelten sowohl A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und \overline{C}.
Damit geht einher, dass dort \overline{A} und \overline{B} gelten.
Lösung Aufgabe 3:
In den Zeilen 1,5 und 7 sind die Aussagen A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und C gültig.
Die daraus folgenden Gültigkeiten für A und B sind folgende:
- A und B sind gültig
- A gilt nicht, aber B gilt
- A und B gelten beide nicht
Daraus folgt, dass es den Fall A gilt, aber B gilt nicht, nicht geben kann.