Probabilistische Algorithmen SS09

Einführung in probabilistische Algorithmen

Was sind probalistische Algorithmen?

Probalistische, oder auch stochastische oder randomatisierte Algorithmen, zeichnen sich dadurch aus, dass der intere Ablauf eines Programms dem Zufall unterliegt. Im Gegensatz dazu gibt es die deterministischen Programme, bei welchen der Ablauf von vornhinein fest steht.

Man kann sich probalistische Algorithmen als deterministischen Algorithmus vorstellen, bei dem jede Entscheidungsmöglichkeit im Programm einer gewissen Wahrscheinlichkeit unterliegt. Für eine fixe Inputgröße x kann der probalistische Algorithmus evt. unterschiedliche Ergebnisse liefern und/oder unterschiedliche Zeiten zur Berechnung brauchen. Algorithmen, deren Ergebnis immer korrekt ist, falls sie eines liefern, heißen Las-Vegas-Algorithmen. Im Gegensatz dazu gibt es Monte-Carlo-Algorithmen, welche zwar immer ein Ergebnis liefern, welches aber nicht zwangsläufig korrekt sein muss. Außerdem gibt es Sherwood-Algorithmen, welche einen Spezialfall von Las-Vegas-Algorithmen darstellen, aber keine Sackgassen besitzen. Diese Sherwood-Algorithmen arbeiten im mittleren Fall bedeutend effizienter, als im schlechtesten. Durch ein Zufallselement wird dann dafür gesorgt, dass sich alle Fälle ähnlich dem mittleren Fall verhalten, wordurch im Mittel die Effizienz gesteigert wird. Dies nennt man den Robin-Hood-Effekt.

Wozu probalistische Algorithmen

Randomatisierte Algorithmen können effizienter arbeiten und einfachter zu verstehen und implementieren sein als die besten deterministischen Algorithmen für das gleiche Problem. Zur Bestimmung einer Primzahl gibt es etwa

1. einen effizient in Polynomzeit arbeitenden probalistischen Algorithmus,
2. keinen bekannten deterministischen, in Polynomialzeit arbeitenden Algorithmus und
3. es ist nicht bekannt, ob es sich um ein P oder NP- Problem (oder EXPTIME) handelt (Also ob das Problem mit einem deterministischen Algorithmus in Polynomialer Zeit oder nichtdeterministisch in Polynomialer Zeit gelößt werden kann)

Für Probleme, bei denen selbst der beste bekannte, deterministisch arbeitende Algorithmus einen hohen polynomialen Aufwand hat, lassen sich oft efizientere probalistische Algorithmen finden.

Als Beispiel betrachten wir uns hier die Berechnung der Kreiszahl Pi:

Als Formel für eine numerische Näherung könnte man zum Beispiel der Formel des Inders Srinivasa Ramanujan aus dem Jahr 1914 nutzen:

Alternativ ist es möglich, einen Kreis durch ein Quadrat zu Zeichnen, in dieses zufällig gewählte Punkte zu werfen, und über deren Verteilungsverhältnis Pi zu ermitteln.

Ein Algorithmus, in dem dies Implementiert ist, findet sich hier:

<eval> berechne_pi(100); </eval>

Probalistische Algorithmen in kritischen Anwendungen

Monte-Carlo-Algorithmen liefern ein Ergebnis, welches nicht zwangsläufig korrekt sein muss. Es gibt Menschen, die daraus Schlussfolgern, dass probalistische Algorithmen für etwa sicherheitskritische Anwendungen nicht geeignet sind. Dies muss so aber nicht stimmen, da die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers signifikant gesenkt werden kann, in dem man den Algorithmus mehrmals mit dem gleichen Eingabeparameter laufen lässt. Unter Umständen ist es auch möglich, für einen Monte-Carlo-Algorithmus einen Las-Vegas-Algorithmus anzugeben. In der Regel braucht es dazu aber einen Verifizierer für die Lösung, also einen Algorithmus, der zu einem Lösungsvorschlag testen kann, ob der Vorschlag korrekt ist. Man erhält dann einen Las-Vegas-Algorithmus, in dem man den gegebenen Monte-Carlo-Algoroithmus ausführt, anschließend die Lösung mit dem Verifizierer überprüft, und dieses Verfahren solange wiederholt, bis eine korrekte Lösung berechnet wurde. Bei dieser Methode ist zwar die Rechenzeit nicht nach oben beschränkt, man kann aber die Anzahl der Iterationen grob nach oben abschätzen.

Umgekehrt lässt sich aus jedem Las-Vegas-Algorithmus ein Monte-Carlo-Algorithmus machen, in dem man einen obere Schranke für die Rechenzeit festlegt und, falls diese Überschritten wurde, eine beliebige Ausgabe liefert (etwa "?"), welche dann als falsche Ausgabe interpretiert wird.

Formalisierung von probalistischen Algorithmen

Um eine formale Notation für probalistische Algorithmen zu erhalten, kann man eine deterministische Turingmaschine M mit einem zusätzlichen unendlichen Band nehmen. Dieses zusätzliche Band kann nur gelesen werden und enthält eine unendliche, zufällige Sequenz von "0" und "1". Die Maschine M schiebt dieses Band nur von links nach rechts.

Jeder randomisierter Algorithmus A zusammen mit einem festen Eingangswert x stellt also ein Zufallsexperiment dar.

Für jeden probalistischen Algorithmus können wir die Komplexität prüfen, in dem wir die Anzahl der Zufallsbits mit betrachten. Wenn die Funktion

das Höchstmaß an Zufallszahlen in allen Durchläufen von A für x ist, dann gilt

Dieses Maß ist aus folgenden Gründen sehr wichtig:

1. Es kostet viel Arbeit, um eine Prozedur zu schreiben, die das gleiche Verhalten hat, wie ein probalistischer Algorithmus. Und diese Arbeit wächst mit Länge der Prozedur an.

1. Wenn Random_{A}(n) von A an eine logarithmische Funktion gebunden ist, dann konvergiert die Anzahl der Durchläufe für einen festen Eingangswert x gegen 2^{Random_{A}(n)}.

Das heißt, dass A deterministisch Simuliert werden kann, in dem man jeden Durchlauf nacheinander simuliert. Wenn A das Problem in Polynomzeit löst, benötigt auch die deterministische Simulation von A nur Polynomzeit. Dies wird als Derandomisierung bezeichnet.

Für jeden Durchlauf C von A mit x kann eine Wahrscheinlichkeit zur Lösung von x angegeben werden. Diese ergibt sich aus der Multiplikation aller Wahrscheinlichkeiten der Zufallsentscheidungen, welche in C getroffen wurden. Diese bezeichnen wir im Folgenden als Prob_{A,x}(C). Ein probalistischer Algorithmus A kann für den gleichen Eingabewert x unterschiedliche Resultate liefern. Die Wahrscheinlichkeit, dass A für x das korrekte Ergebnis y liefert, also Prob(A(x) = y) ist die Summe aller Prob_{A,x}(C), bei denen C 'y'' ausgibt. Das Ziel beim konstruieren eines probalistischen Algorithmus ist es also, ein möglichst hohes Prob(A(x) = y) zu erhalten.

Verschiedene Durchläufe von A mit x können aber auch unterschiedliche Rechenzeiten (oder Kosten) haben. Wenn Time(C)^{10} die Komplexität des Durchlaufs C von A mit x ist, dann ist die erwartete Zeitkomplexität von A mit x

Wobei die Summe von allen Durchläufen C von A mit x gebildet wird. Man könnte die Exp-Time-Funktion auch als Funktion über den Eingabewert definieren, in dem man

ExpTime_A(n) = max\left\{ExpTime_A(x) \right\} berechnet.

Oft ist es jedoch nicht ganz einfach, ExpTime_A(n) für einen bestimmten Algorithmus A anzugeben. Um mit dieser Schwierigkeit aufzuräumen, wird nur der worst case betrachtet.

Wenn also Time_A(x) = max\left\{Time(C) \right\} wobei C ein Durchlauf von A mit x ist, dann ist die worst-case-Zeitkomplexität von A

Time_A(n) = max\left\{Time_A(X) \right\} .

Leider ist diese Definition in manchen Fällen etwas irrführend, weil es sein kann, dass in dem probalistischen Algorithmus endlos läuft. Bei einem deterministischen Algorithmus sind endlose Rechenzeiten verboten, da der Computer in einer Endlosschleife feststecken würde, und das Problem nie lösen wird. Bei probalistischen Algorithmen ist es durchaus möglich, dass ein Algorithmus endlos rechnet, da dies auch ohne Endlosschleife möglich ist. Bei jeden neuen Durchlauf werden neue Zufallsparameter gewählt, und der Algorithmus könnte terminieren. Eine Möglichkeit, um die Rechenzeit einzuschränken, ist, wie schon beschrieben, eine Schranke in den Algorithmus einzubauen, welche immer ein falsches Ergebnis liefert, wenn der Algorithmus bis zu einer bestimmten Zeit nicht terminiert ist.

(Pseudo)Zufallszahlen

Für probabilistische Algorithmen und Vorhersagen benötigt man Zufällige Ereignisse.

Die Frage, was kann man überhaupt als Zufall bezeichnen?, beantworten wir für uns so: Ein Zustand tritt dann zufällig ein, wenn er nicht vorhersagbar ist.

Der Computer ist auf Grund des Determinismus (eine bestimmte Eingabe führt bei identischer Verarbeitung stets zu der selben Ausgabe) ein schlechter Zufallszahlengenerator.

Der prinzipielle Anspruch an Zufallszahlen ist: möglicht große bzw möglichst keine erkennbare Periode, gleichförmige Verteilung und keinerlei Zusammenhänge zwischen den gewonnen Zahlen.

Die 1948 von LEHMER entwickelte Kongruenzmethode ist ein deterministisches Verfahren zum erzeugen sogenannter Pseudozufallszahlen. Sie erzeugt eine ”zufällige” Zahlenfolge ausgehend von einem Startwert (seed), dabei folgt sie der rekursiven Vorschrift:

mit

Diese Methode liefert uns jedoch bei gleichem seed immer die gleiche Zahlen-kette, noch dazu ist sie periodisch (hängt von der Größe von c ab).

Der Anspruch an Zufallszahlen variiert sehr stark je nach Anwendungsbereich. Für ein simples Würfelspiel reicht es schon aus, wenn man den Algorithmus nicht durchschauen kann...dh. die Ergebnisse ausreichend unvorhersehbar und ausreichend gleich verteilt sind. Für Anwendungen in der Kryptografie hingegen ist es unbedingt erforderlich nicht reproduzierbare Zahlen zu erzeugen - also benötigen wir ein nicht deterministisches Verfahren.

Da das ureigenste Prinzip des Computers der Determinismus ist, ist uns dieses nicht möglich. Vielmehr können wir nur versuchen unseren seed schon sehr beliebig (möglichst zufällig) zu wählen.

Hierfür könnten wir zum Beispiel die UNIX-Systemzeit verwenden.

Ein Beispiel:

Testen sie die Java-Prozedur myRandom, zunächst mit selbst gewähltem seed.

<eval> myRandom(123456789); </eval>

Nun liefert uns das jedoch zwar eine große Zahl, jedoch jedes mal die gleiche...wenn wir nun jedes Mal eine beliebige Zahl eingeben würden hätten wir ein durchaus unduchschaubares Ergebnis, JEDOCH nur wenn wir das Ergebnis noch nicht kennen. Noch besser währe es, wenn wir nichteinmal die Eingabezahl wüssten... Der implementierte Algorithmus kann das.

Rufen Sie die Prozedur ohne Eingabeparameter auf.

Der hierbei verwendete seed ist die UNIX-Systemzeit, wir erhalten (für uns) echte unvorhersagbare Zufallszahlen.

...ein kleiner Anreiz zum ausprobieren: java.lang.Math.abs(myRandom()%100);

Es gibt natürlich auch noch andere Möglichkeiten Zufallszahlen zu erzeugen

Um für die manche Anwendungsfälle in der Praxis taugliche Zufallszahlen zu erzeugen werden physikalische Zufallszahlengeneratoren verwendet. Sie nutzten physikalische Prozesse wie elektrisches oder thermisches Rauschen, Bildrauschen von Web-Cams oder Radioaktiven Zerfall. Ein nettes Beispiel findet ihr hier: http://von-und-fuer-lau.de/randcam.html

Algorithmen

Las-Vegas-Algorithmen

Monte-Carlo-Algorithmus Gruppe 2

Ein Monte-Carlo-Algorithmus ist ein Algorithmus welcher immer ein Ergebnis liefert, allerdings mit einer festlegbaren Wahrscheinlichkeit ein fehlerhaftes Resultat zurückliefert. Er liefert demzufolge, keine Näherungslösungen sondern ebend entweder ein richtiges oder falsches Ergebnis - was sich jedoch nicht direkt feststellen lässt. Das gelieferte Ergebnis wird als "wahr" befunden.

Mithilfe von Monte-Carlo-Algorithmen lassen sich Probleme lösen die sonst nur schwer bis unlösbar sind.

Fehlerwarscheinlichkeit

Durch häufiges Wiederholen lässt sich die Warscheinlichkeit, dass der Algorithmus ein falsches Ergebnis liefert soweit eindämmen, dass ein Hardwareversagen um ein vielfaches wahrscheinlicher sein kann.

Multimengenvergleiche

Zum Anfang, was sind überhaupt Multimengen. Multimengen unterscheiden sich von normalen Mengen nur insoweit das jeder Wert 1 bis n mal vorkommen kann. Viel mehr gibt es dazu auch nicht zu sagen. Nun kommt man zu dem Problem der Äquivalenzprüfung.

Würde man zum Beispiel die Multimengen $M_1=\{1,2,2,3,4,5\}$ und $M_2=\{5,4,2,3,2,1\}$ auf Äquivalenz überprüfen wollen, müsste man die beiden Multimengen ordnen und dann auf Äquivalenz prüfen. Dies kostet im Mittel $\mathcal{O}(n log n)$, besser wäre allerdings $\Theta(n)$, dies vermag ein propabilistischer Algorithmus zu erreichen. Es wird verabredet das jeder Multimenge $M_m=\{x_1,x_2,...,x_n\}$ ein Polynom $p_{M_m}$ zugeordnet wird. Dieses Polynom wird nach folgendem Muster gebildet.

Nun werden folgende Regeln verabredet:

1. $M_1\equiv M_2$, wenn $p_{M_1}(x)\ =\ p_{M_2}(x)$ für alle ganzen Zahlen $x$ zutrifft. 

2. $M_1\not\equiv M_2$, wenn in 1. beschriebenes Verfahren für mindestens ein $x$ fehlschlägt.

Was bedeutet das für uns. Nunja, sobald wir auf ein $x$ stoßen, für welches die Funktionswerte der beiden Polynome unterschiedlich sind so ist ziemlich sicher das die Multimengen unterschiedlich sind. Um die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen wird der Test für zufällige $x$ wiederholt. Konkret schaut das dann wie folgt aus.

Wir haben die 3 Multimengen m1 ,m2 ,m3 zur Verfügung. m2 ist identisch zu m1, m3 ist eine gänzlich andere Multimenge Die Methode poly liefert den Polynomwert der Multimengen für einen gegebenen Wert.

<eval> System.out.println("Polynomwerte:\nm1 "+poly(3,m1)+"\tm2 "+poly(3,m2)+"\tm3 "+poly(3,m3)); </eval> Bitte mehrmals ausführen und Rückgaben beobachten.

Wenn man die Prozedur über alle 3 Multimengen laufen lässt bekommt man mit hoher Wahrscheinlichkeit verschiedene Werte. Es kann aber auch vorkommen das für alle 3 Multimengen der gleiche Polynomwert herauskommt. Man kann deshalb allerdings noch nicht von einer Äquivalenz ausgehen. Dafür sind mehrere Versuch mit zufälligen Eingabewerten notwendig. Dafür verwenden wir die Methode aequivalenztest, diese testet mit einem zufälligen Wert und wiederholt den Test.

<eval> System.out.println("m1=m2? "+aequivalenztest(m1,m2,4,10)+" m1=m3? "+aequivalenztest(m1,m3,4,10)); </eval> Und noch eine komplette Ausgabe von Anfang bis Ende. <eval> System.out.println("m1 "+printmenge(m1)+"\tm2 "+printmenge(m2)+"\tm3 "+printmenge(m3)); System.out.println("Polynomwerte für den ersten Durchlauf:\nm1="+poly(3,m1)+"\tm2="+poly(3,m2)+"\tm3="+poly(3,m3)); System.out.println("m1=m2? "+aequivalenztest(m1,m2,4,10)+"\tm1=m3? "+aequivalenztest(m1,m3,4,10)); </eval>

Fermat

Ganz klassisch lässt sich der Primzahlcharakter einer Zahl durch durchprobieren mit Probeteilern herausfinden, aber besonders bei großen Primzahlen ist diese Methode schrecklich ineffizient.

Mittels des "Kleinen Satzes von Fermat" kann man mittels randomisieren einen Monte-Carlo Algorithmus entwickeln. Dieser Primzahltest besitzt dann einen Aufwand von \mathcal{O}(log\ n).

Der "Kleine Satz von Fermat sagt folgendes aus:

a^{primzahl}\equiv a (mod\ prim)

Alternativ wird auch häufig folgende Version benutzt:

a^{primzahl-1}\equiv 1 (mod\ prim)

Wobei a eine beliebige Ganzzahl ist. Über den "Satz von Euler" lässt sich die zweite Formel herleiten:

Für alle natürlichen Zahlen n und a mit n \geq 2 und 1 \leq a < n, wobei ggt(a,n)=1, gilt a^{\varphi(n)}\equiv 1\ mod\ n
Da unter der Bedingung das $1\leq a < n$ gilt das \varphi (n) \equiv n-1 für Primzahlen ist, lässt sich dies im Satz von Fermat einsetzen.

Die Standardimplementation des Fermattests liefert schon recht zuverlässig aussagen über den Primzahlcharakter vieler Zahlen, allerdings scheitert der Algorithmus an sogenannten Pseudoprimzahlen und den Carmichael-Zahlen. Im Intervall von $0\ -\ 10000$ gibt es nur 22 solcher Pseudoprimzahlen und gerademal 7 Carmichael-Zahlen.

<eval>fermattest(java.math.BigInteger.valueOf(341));</eval> Durch randomisieren und wiederholen lässt sich ein Primzahltest herstellen der auch Pseudoprimzahlen und Carmichael-Zahlen bei 10 Wiederholungen meistens entdeckt. Durch mehr Wiederholungen kann die Genauigkeit weiter erhöht werden.

<eval> fermattest_proba(java.math.BigInteger.valueOf(341),4); </eval>

<eval>primzahlen_bis(50);</eval>

Primzahltest nach Solovay und Strassen

Bei dem Primzahltest von Solovay und Strassen handelt sich ein weiteres mal um einen weiteren Monte-Carlo-Algorithmus.

<eval>solovay_strassen_wdh(341,10); </eval>

Ausblick

Genetische Programmierung

Schwarmalgorithmen

Aufgaben

1.

Implementieren Sie einen Generator für Pseudozufallszahlen nach der Kongruenzmethode. (Buch S. 124)

mit

<eval>//(zf)</eval>

(Um einen zufälligen Startwert anzunehemn gibt es zwar auch Sprachelemente in Scheme, jedoch funktionieren diese hier in der Wiki nicht.)

2

Setzen Sie sich an einem schönen Tag ins Freie, und beobachten Sie Ameisen bei der Futtersuche. Welche Beziehungen zu dem Ameisenalgorithmus können Sie erkennen? Welche Beispiele aus der Natur können noch einen Anreiz darstellen, sie als Vorbild für einen Algorithmus zu nutzen?

3

Entwerfen sie einen Quicksort-Algorithmus, welcher sein Pivot-Element zufällig wählt. Vergleichen sie die effizienz mit der Quicksort-Variante, welche immer das erste Element als Pivot-Element nutzt.

Aufgabenverteilung

Quellen

http://www.riskglossary.com/link/monte_carlo_method.htm

Oliver Lau "Faites vos jeux! - Zufallszahlen erzeugen, erkennen und anwenden" (c't 2009, Heft 2)

http://www.addison-wesley.de/Service/Krueger/kap12006.htm

Schickinger, Steger - Diskrete Strunkturen - Band 2 - Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Juraj Hromkovič - Algorithmics for Hard Problems

Juraj Hromkovič - Randomisierte Algorithmen

http://www.m-boehmer.de/pdf/Schwarmintelligenz_Artikel.pdf

Jörg Rothe - Komplexitätstheorie und Kryptologie