Probabilistische Algorithmen SS09
Inhaltsverzeichnis |
Einführung in proballistische Algorithmen
Einführung in probalistische Algorithmen
Zufallszahlen
Einführung
Für probabilistische Algorithmen und Vorhersagen benötigt man Zufällige Ereignisse.
Der Computer ist auf Grund des Determinismus (eine bestimmte Eingabe führt bei identischer Verarbeitung stets zu der selben Ausgabe) ein schlechter Zufallszahlengenerator. Die Frage, was kann man überhaupt als Zufall bezeichnen?, beantworten wir für uns so: Ein Zustand tritt dann zufällig ein, wenn er nicht vorhersagbar ist.
Im folgenden Beispiel nehmen wir einen Anfangswert (seed) und berechnen daraus unsere "Zufallszahl" ... schon die Aussage Zufallszahl BERECHNEN lässt uns erahnen, dass dahinter "nur" ein deterministischer Algorithmus steckt, der jedoch auf Grund seiner Komplexität einfach nicht so leicht überschaubar ist.
Wir nutzten für den Aufruf die Java-Funktion "Random".
Der Algorithmus, der sich dahinter verbirgt arbeitet in etwa so: Zufallszahl = (sehr_große_Prim * seed + sehr_große_Prim2) modulo 2⁶⁴
Damit kann man nun auch eine "zufällige" Kette von Zahlen erzeugen: Zufallszahl = (sehr_große_Prim * Zufallszahl-1 + sehr_große_Prim2) modulo 2⁶⁴
Nun liefert uns das jedoch zwar eine große Zahl, jedoch jedes mal die gleiche...wenn wir nun jedes Mal eine beliebige Zahl eingeben würden hätten wir ein durchaus unduchschaubares Ergebnis, JEDOCH nur wenn wir das Ergebnis noch nicht kennen. Noch besser währe es, wenn wir nichteinmal die Eingabezahl wüssten... Der implementierte Algorithmus kann das.
Rufen Sie die Prozedur ohne Eingabeparameter auf.
Der hierbei verwendete seed ist die UNIX-Systemzeit. Das ist ausreichend unvorhersehbar für zum Beispiel Simulationen, reicht jedoch noch lange nicht aus in der Kryptologie.
Der prinzipielle Anspruch an Zufallszahlen ist: möglicht große bzw möglichst keine erkennbare Periode, gleichförmige Verteilung und keinerlei Zusammenhänge zwischen den gewonnen Zahlen.
Der Anspruch an Zufallszahlen variiert sehr stark je nach Anwendungsbereich. Für ein simples Würfelspiel reicht es schon aus, wenn man den Algorithmus nicht durchschauen kann...dh. die Ergebnisse ausreichend unvorhersehbar und ausreichend gleich verteilt sind. Für Anwendungen in der Kryptografie hingegen ist es unbedingt erforderlich nicht reproduzierbare Zahlen zu erzeugen - also benötigen wir ein nicht deterministisches Verfahren.
Da das ureigenste Prinzip des Computers der Determinismus ist, ist uns dieses nicht möglich. Vielmehr können wir nur versuchen unseren seed schon sehr beliebig (möglichst zufällig) zu wählen.
Hierfür bietet sich die UNIX-Systemzeit an (ein sich immerhin im Sekundentakt ändernder Wert). Für Anwendungen die unter allen Umständen unnachvollziehbar bleiben sollen oder eine sehr hohe Taktrate an Zufallszahlen benötigen ist dies jedoch immernoch nicht ausreichend.
Testen sie die Java-Prozedur myRandom, zunächst mit selbst gewähltem seed. Bei keinem selbst vorgegebenen seed, nimmt die Prozedur myRandom die UNIX-Systemzeit und wir erhalten (für uns) echte unvorhersagbare Zufallszahlen.
<eval> myRandom(123456789); </eval>
...ein kleiner Anreiz zum ausprobieren: java.lang.Math.abs(myRandom()%100);
Es gibt natürlich auch noch andere Möglichkeiten Zufallszahlen zu erzeugen
Um für die manche Anwendungsfälle in der Praxis taugliche Zufallszahlen zu erzeugen werden physikalische Zufallszahlengeneratoren verwendet. Sie nutzten physikalische Prozesse wie elektrisches oder thermisches Rauschen, Bildrauschen von Web-Cams oder Radioaktiven Zerfall. Ein nettes Beispiel findet ihr hier: http://von-und-fuer-lau.de/randcam.html
Algorithmen
Monte-Carlo-Algorithmus Gruppe 2
Ein Monte-Carlo-Algorithmus ist ein Algorithmus welcher immer ein Ergebnis liefert, allerdings mit einer festlegbaren Wahrscheinlichkeit ein fehlerhaftes Resultat zurückliefert. Mithilfe von Monte-Carlo-Algorithmen lassen sich Probleme lösen die sonst nur schwer bis unlösbar sind.
Multimengenvergleiche
Wöllte man die Multimengen $M_1=\{1,2,2,3,4,5\}$ und $M_2=\{5,4,2,3,2,1\}$ auf Äquivalenz überprüfen müsste man die beiden Multimengen ordnen und dann auf Äquivalenz prüfen. Dies kostet im Mittel $\mathcal{O}(n log n)$, besser wäre allerdings $\Theta(n)$, dies vermag ein propabilistischer Algorithmus zu erreichen. Es wird verabredet das jeder Multimenge $M_m=\{x_1,x_2,...,x_n\}$ ein Polynom $p_{M_m}$ zugeordnet wird. Dieses Polynom wird nach folgendem Muster gebildet.
$p_{M_m}(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$Nun werden folgende Regeln verabredet:
1. $M_1\equiv M_2$, wenn $p_{M_1}(x)\ =\ p_{M_2}(x)$ für alle ganzen Zahlen $x$ zutrifft.
2. $M_1\not\equiv M_2$, wenn in 1. beschriebenes Verfahren für mindestens ein $x$ fehlschlägt.
Was bedeutet das für uns. Nunja, sobald wir auf ein $x$ stoßen, für welches die Funktionswerte der beiden Polynome unterschiedlich sind so ist ziemlich sicher das die Multimengen unterschiedlich sind. Um die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen wird der Test für zufällige $x$ wiederholt. Konkret schaut das dann wie folgt aus.
Wir haben die 3 Multimengen m1 ,m2 ,m3 zur Verfügung. m2 ist die Spiegelung zu m1, m3 ist eine gänzlich andere Multimenge Die Hilfsprozedur poly liefert den Polynomwert der Multimengen für einen gegebenen Wert.
<eval>(poly 10 m1) </eval> Wenn man die Prozedur über alle 3 Multimengen laufen lässt bekommt man mit hoher Wahrscheinlichkeit verschiedene Werte. Es kann aber auch vorkommen das für alle 3 Multimengen der gleiche Polynomwert herauskommt. Man kann deshalb allerdings noch nicht von einer Äquivalenz ausgehen. Dafür sind mehrere Versuch mit zufälligen Eingabewerten notwendig. Dafür verwenden wir die Prozedur m-aequiv? und die Hilfsprozedur m-aequiv*? welche die Wiederholungen für uns übernimmt.
<eval>(m-aequiv*? m1 m2 3 10)</eval>
Fermat
Der Aufwand für den Primzahltest nach der "Schulvariante" mit Probeteilern
Solovay/Strassen
<eval>(stp 50)</eval>
Ausblick
Genetische Programmierung
Aufgaben
1
Implementieren Sie einen Generator für Pseudozufallszahlen nach der Kongruenzmethode. (Buch S. 124)
z_{n}=(a*z_{n-1}+b)mod\ cmit
z_0=4567\\a=9749\\b=0\\c=2^{18}=262144<eval>//(zf)</eval>
(Um einen zufälligen Startwert anzunehemn gibt es zwar auch Sprachelemente in Scheme, jedoch funktionieren diese hier in der Wiki nicht.)
2
Setzen Sie sich an einem schönen Tag ins Freie, und beobachten Sie Ameisen bei der Futtersuche. Welche Beziehungen zu dem Ameisenalgorithmus können Sie erkennen? Welche Beispiele aus der Natur können noch einen Anreiz darstellen, sie als Vorbild für einen Algorithmus zu nutzen?
3
Entwerfen sie einen Quicksort-Algorithmus, welcher sein Pivot-Element zufällig wählt. Vergleichen sie die effizienz mit der Quicksort-Variante, welche immer das erste Element als Pivot-Element nutzt.
Quellen
http://www.riskglossary.com/link/monte_carlo_method.htm
Oliver Lau "Faites vos jeux! - Zufallszahlen erzeugen, erkennen und anwenden" (c't 2009, Heft 2)
http://www.addison-wesley.de/Service/Krueger/kap12006.htm
Schickinger, Steger - Diskrete Strunkturen - Band 2 - Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Juraj Hromkovič - Algorithmics for Hard Problems
Juraj Hromkovič - Randomisierte Algorithmen
http://www.m-boehmer.de/pdf/Schwarmintelligenz_Artikel.pdf
Jörg Rothe - Komplexitätstheorie und Kryptologie