Minimaler Spannbaum WS13-14

Autoren:

• Daniel Richter
• Adrian Danker

Als minimale Spannbäume wird die minimale Menge aller Kanten zwischen den Punkten eines Spannbaumes bezeichnet, die nötig sind, um alle Punkte mit minimalem Kantengewicht zu verbinden.

Motivation

Mit Hilfe minimaler Spannbäume lassen sich effiziente Lösungen für Vernetzungen von Punkten finden, bei denen die Gesamtstrecke möglichst klein werden soll (Telefonnetz, Gas-/Wasser-/Abwasserversorgung).

Minimale Spannbäume

Bei Spannbäumen wird immer von einem gewichteten, ungerichteten und zusammenhängenden Graphen G=(V,E) ausgegangen.

• V ist die Menge der Knoten
• E ist die Menge der Kanten des Graphen
• Jede Kante (u,v)\in E besitzt ein Gewicht w(u,v) (gewichtet), das die Länge, bzw. Kosten angibt
• Ein Graph G ist ungerichtet, wenn für eine Kante (u,v) direkt von u nach v und umgekehrt gegangen werden kann
• Ein ungerichteter Graph heißt zusammenhängend, wenn für alle Knoten gilt, dass es zu je zwei beliebigen Knoten u und v einen ungerichteten Weg gibt mit u als Startknoten und v als Endknoten

Die azyklische Teilmenge T \subseteq E, die alle Knoten miteinander verbindet, ist ein Spannbaum. Ist das Gesamtgewicht minimal so ist dies ein minimaler Spannbaum.

Aufbau minimaler Spannbäume

Um einen minimalen Spannbaum, für einen ungerichteten, zusammenhängenden Graphen G=\left(V , E\right) mit der Gewichtsfunktion w:E\rightarrow \mathbf{R} zu bestimmen, wird der Greedy-Ansatz benutzt. Sowohl der Algorithmus von Kruskal als auch der Algorithmus von Prim nutzen diesen Ansatz, jedoch ist die Art und Weise, auf die dieser Ansatz umgesetzt wird unterschiedlich. Zuerst sei hier ein generischer Ansatz beschrieben, der illusteren soll, wie im allgemeinen ein minimaler Spannbaum aufgebaut wird.

Generischer Ansatz

Allgemeine Festlegung

Invariante: ist eine Aussage, die über die Ausführung bestimmter Programmbefehle hinweg gilt. Unmittelbar vor jeder Iteration ist A eine Teilmenge eines minimalen Spannbaumes. In jedem Schritt wird eine Kante \left(u,v\right) bestimmt, welche dem minimalen Spannbaum A hinzugefügt werden kann. Dadurch sind A\cup\lbrace\left(u,v\right)\rbrace eine Teilmenge von einem minimalen Spannbaum. Diese Kante wird als sichere Kante für A bezeichnet, ohne die Invariante zu verletzen.

Baum: Mengen werden durch gerichtete Bäume dargestellt. Jeder Knoten ist ein Element der Menge und jeder Baum stellt eine Menge dar.

Wald disjunkter Mengen: Jedes Element zeigt nur auf sein Vaterelement. Die Wurzel Jedes Baumes enthält den Repräsentanten und ist sein eigener Vater.

Die genauen Definitionen sind im Buch Algorithmen - Eine Einführung erläutert. Wir empfehlen, diese Lektüre im Selbststudium zu Rate zu ziehen.

Die Schleifeninvariante wird folgendermaßen verwendet:

1. Initialisierung: Nach der ersten Zeile wird die Schleifeninvariante erfüllt.
2. Fortsetzung: In den Zeilen 2-4 erhält die Schleife die Schleifeninvariante, da nur sichere Kanten hinzugefügt werden.
3. Terminierung: Alle Kanten die A hinzugefügt werden, sind in einem minimalem Spannbaum. Also ist die Menge A ein minimaler Spannbaum und wird zurückgegeben.

Bestimmung einer sicheren Kante

Die Bestimmung einer sicheren Kante ist der wichtigste Schritt im generischen Ansatz. Eine sichere Kante muss existieren. Denn wenn, wie im Pseudocode die dritte Zeile ausgeführt wird, ist dies durch die Schleifeninvariante festgelegt. Das heißt es existiert ein Spannbaum T mit A\subseteq T. In der While-Schleife muss A eine echte Teilmenge von T sein. Es existiert also eine Kante\left(u,v\right) \in E, welche sicher für A ist aber nicht zu A gehört. Um diese Kanten genau bestimmen zu können, benötigen wir einige Definitionen.

Schnitt eines ungerichteten Graphen

Ein Schnitt \left(S,V / S\right), ist eine Partitionierung von V, eines ungerichteten Graphen G=\left( V,E\right). Wenn eine Kante \left( u,v\right) \in E mit einem ihrer Endpunkte in S und der andere in V / S liegt, dann kreuzt die Kante \left( u,v\right) den Schnitt \left(S,V /S\right). Ein Schnitt respektiert eine Kantenmenge A, falls keine Kante von A den Schnitt kreuzt. Wenn eine Kante das kleinste Gewicht aller Kanten besitzt, welche den Schnitt kreuzen, ist es eine leichte Kante.

Regel zu Identifizierung sicherer Kanten

G=\left(V,E\right) sei ein zusammenhängender, ungerichteter Graph, für den eine reellwertige Gewichtsfunktion auf E definiert ist. Weiter seien A eine Teilmenge von E, die zu einem minimalen Spannbaum für G gehört \left(S,V /S\right) ein Schnitt von G, der A respektiert und \left( u,v\right) ist eine leichte Kante, die \left(S,V /S\right) kreuzt. Dann ist die Kante \left( u,v\right) für A sicher.

Algorithmus von Kruskal

Joseph Bernard Kruskal, geboren am 28 Januar 1929 in New York, gestorben am 19. September 2010 in Princeton, entwickelte 1956 einen Algorithmus ,der auf den generischen Ansatz aufbaut und minimale Spannbäume erstellt. Dieser Algorithmus basiert auf dem generischen Ansatz, welcher im vorherigen Abschnitt betrachtet wurde. Eine sichere Kante wird bestimmt, die einem wachsenden Wald hinzugefügt wird. Es werden hierbei von allen Kanten, welche zwei beliebige Bäume des Waldes verbinden, die Kante \left(u,v\right) mit dem geringsten Gewicht ausgewählt.

Arbeitsweise am Pseudocode

Bevor wir uns den Pseudocode anschauen müssen wir noch kurz andere Methoden ansehen und erläutern damit wir verstehen wie der der Algorithmus arbeitet. Auch sollte erwähnt werden das der Algorithmus mit der Datenstruktur disjunkten Mengen arbeitet. Die genauen Definitionen, wie auch die genaue Arbeitsweise der folgenden Operationen können Sie hier oder im Buch Algorithmen - Eine Einführührung nachlesen.

Make-Set\left(v\right)

Erzeugt Menge \lbrace v\rbrace mit Namen \lbrace v\rbrace.

Find-Set\left(u\right)

Die Operation Find-Set\left( u\right) gibt ein repräsentatives Element aus der Menge, welche u enthält, zurück.

Union \left( u,v\right)

u sei in A^{i}, v sei in A^{j} \longrightarrow erzeuge A^{i} \cup A^{j}, gebe der Menge beliebigen Namen aus A^{i} \cup A^{j}.

Abarbeitung des Algorithmus

Der Algorithmus initialisiert in den ersten drei Zeilen, die leere Menge A und es werden \vert V\vert Bäume erzeugt, welche jeweils einen Knoten enthalten. Danach werden die Kanten von E in nichtfallender Reihenfolge und nach dem Gewicht sortiert. Die zweite FOR - Schleife prüft für jede Kante \left( u,v \right) ob die jeweiligen Knoten zum gleichen Baum gehören. Gehören die beiden Knoten zum gleichen Baum, kann die Kante \left( u,v \right) nicht zum Wald hinzugefügt werden. Da sonst ein Zyklus erzeugt wird. Sollte die Kante \left( u,v \right) nicht zum gleichen Baum gehören wird die Kante in Zeile 7 zur Menge A hinzugefügt. Mit der UNION Methode werden die beiden Bäume verschmolzen. Als letztes wird die Menge A zurückgegeben.

Die Arbeitsweise lässt sich auch relativ einfach ausdrücken.

1. . Es wird die Kante mit dem kleinsten Gewicht des gesamten Graphen ausgewählt und wird als Startkante des minimalen Spannbaumes gesetzt. Bei mehreren Kanten mit dem selben Gewicht werden auch diese verwendet.
2. . Danach wird wieder die kleinste Kante, welche noch nicht gesetzt wurde, gesucht und deren Punkte werden miteinander Verbunden.
3. . Dieses Verfahren wird solang wiederholt bis alle Punkte untereinander verbunden sind. Dabei darf kein Zyklus entstehen.

Abschließend lässt sich Festhalten das dieser Algorithmus, mit dieser gewählten Implementierung, der disjunkten Mengen einen Aufwand von \mathcal{O}\left( E\ \log V\right) ensteht.

Algorithmus von Prim

Der Algorithmus von Prim dient wie der Algorithmus von Kruskal der Berechnung eines minimalen Spannbaumes in einem zusammenhängenden, ungerichteten, kantengewichteten Graphen.

Der Mathematiker und Informatiker Robert Clay Prim arbeitete 1957 bei den Bell Laboratories und entdeckte dort den später primär nach ihm benannten Algorithmus, der knapp 30 Jahre zuvor von dem tschechischen Mathematiker Vojtěch Jarník entwickelt wurde. 1959 widmete sich auch Edsger W. Dijkstra der Weiterentwicklung. In der Literatur ist daher auch gelegentlich von Prim-Dijkstra-Algorithmus oder Algorithmus von Jarnik, Prim und Dijkstra die Rede, im englischen Sprachraum auch Jarnik's algorithm oder DJP algorithm.

Verständnis-Aufgabe: Applet Prim-Algorithmus
Hinweis in der Hochschule funktioniert dieser Link nur über einen Proxy wie kproxy.com.

Arbeitsweise

Die Arbeitsweise lässt sich sehr einfach erklären:

1. Nimm einen beliebigen Knoten aus der Menge der Knoten in einem zusammenhängenden, ungerichteten, kantengewichteten Graphen
2. Suche die Kürzeste Kante, die von diesem Knoten ausgeht
3. Nun suche die kürzeste Kante die von einem der bereits angelaufenen Knoten ausgeht
4. Wurde der Zielknoten bereits angelaufen, nimm die nächste Kante
5. Wiederhole Schritt 3 und 4 so lange, bis alle Knoten verbunden sind
6. Das Ergebnis ist ein minimaler Spannbaum

Vergleich zum Algorithmus von Kruskal

Bei dem Algorithmus von Prim wird die nächste Kante aus allen möglichen Verbindungen zu noch nicht angelaufenen Knoten im Graphen ermittelt. Im Gegensatz dazu sucht der Algorithmus von Kruskal die günstigste Kante aus der Gesamtmenge aller Kanten im Graphen.

Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Gegeben ist eine eine Menge von 10 Häusern. Alle Häuser sollen durch neue Wege verbunden werden.

Die folgende Kostenmatrix enthält die nötigen Investitionen, um zwischen je zwei Häusern Wege zu bauen.

Finde die günstigste Lösung, um alle Häuser mit möglichst wenigen Wegen zu verbinden! (Eine Zeichnung könnte helfen!)

$\begin{bmatrix} 0 & 5 & 3 & ∞ & 4 & ∞ & ∞ & ∞ & ∞ & ∞ \\ 5 & 0 & 3 & 3 & ∞ & 2 & ∞ & 4 & ∞ & ∞ \\ 3 & 3 & 0 & ∞ & 5 & 3 & 4 & ∞ & ∞ & ∞ \\ ∞ & 3 & ∞ & 0 & ∞ & ∞ & ∞ & 2 & ∞ & ∞ \\ 4 & ∞ & 5 & ∞ & 0 & ∞ & 4 & ∞ & 2 & ∞ \\ ∞ & 2 & 3 & ∞ & ∞ & 0 & 4 & 3 & ∞ & 3 \\ ∞ & ∞ & 4 & ∞ & 4 & 4 & 0 & ∞ & 3 & 2 \\ ∞ & 4 & ∞ & 2 & ∞ & 3 & ∞ & 0 & ∞ & 4 \\ ∞ & ∞ & ∞ & ∞ & 2 & ∞ & 3 & ∞ & 0 & 4 \\ ∞ & ∞ & ∞ & ∞ & ∞ & 3 & 2 & 4 & 4 & 0 \end{bmatrix}$

Aufgabe 2

Gegeben ist Folgender Spannbaum:

Erstelle eine Tabelle, in der pro Schritt für jeweils den Kruskal und den Prim-Algorithmus der aktuelle Übergang festgehalten wird.

Quellen

Cormen, Thomas; Leiserson, Charles; Rivest, Ronald; Stein, Clifford: Algorithmen, eine Einführung,Oldenbourg Verlag, 2007

http://www2.cs.uni-paderborn.de/cs/ag-monien/LEHRE/SS06/DuA/19.pdf

http://www2.cs.uni-paderborn.de/cs/ag-monien/LEHRE/SS06/DuA/20.pdf

Christian Wagenknecht: Algorithmen und Komplexität