Einleitung

Sortieren

Einführung

Elementare Sortierverfahren

Selection Sort

Selection Sort (Sortieren durch Auswählen) wählt wiederholt das kleinste Element im Feld aus.

Ablauf

Man sucht das kleinste Element im Feld und tauscht es mit dem an der ersten Stelle befindlichen Element. Im nächsten Schritt wählt an das zweitkleinste Element und tauscht es mit dem Element an der zweiten Stelle aus. Dieser Vorgang wird sooft wiederholt bis das komplette Feld sortiert ist, also bis das komplette Feld einmal durchlaufen wurde.

Leistungsfähigkeit

Selection Sort besitzt im Worstcase und im Average-Case einen quadratischen Aufwand \mathcal O(n^2). Die Ausführung dieses Verfahrens benötigt keinen zusätzlichen Speicherplatz. Der Durchlauf benötigt ca. \frac{n^2}{2} Vergleiche und n Austauschoperationen, da für jedes Feld von 1 bis n-1 jeweils 1 Austausch und insgesamt (n-1)+(n-2)+...+2+1 Vergleiche notwendig sind. Dies ist jedoch unabhängig von den Eingabedaten, abhängig ist nur die Anzahl der Wertwechsel von Minimum. Im Average-Case liegt die Laufzeit dieser Anzahl in \mathcal O(n \log n), so dass man sagen kann, dass die Laufzeit von Selektion Sort relativ unempfindlich gegenüber der Eingabedaten ist.

Insertion Sort

Insertion Sort (Sortieren durch Einfügen) ist flexibler als Selection Sort.

Ablauf

Man betrachtet ein Element nach dem anderen und fügt jedes Element an seinem Platz zwischen den bereits betrachteten Elementen (links von ihm) ein. Das Einfügen wird durch Verschieben der größeren Elemente nach rechts realisiert. Das Feld ist vollständig sortiert, wenn das rechte Ende des Feldes erreicht wurde.

Leistungsfähigkeit

Die Laufzeit des Insertion Sort ist Abhängig von Inversionen. Inversionen beschreiben den Abstand eines Elementes von dessen Postion nach der Sortierung. Um diesen Abstand zu bestimmen zählt man die Anzahl der Elemente links von betrachteten Element, welche größer sind. Im Bestcase besitzt das Verfahren eine Laufzeit von \mathcal O(1), da das Feld nur einmal durchgegangen werden muss um festzustellen, dass es bereits sortiert ist. Im Average-Case benötigt das Verfahren ca. \frac{n^2}{4} Vergleiche und \frac{n^2}{8} Austausche. Im WorstCase verdoppeln sich diese Anzahlen im Vergleich zum Average-Case.

Bubble Sort

(Sortieren durch Austauschen)

Ablauf

Man durchläuft das Feld immer wieder und tauscht benachbarte Elemente, wenn nötig. Das Feld ist sortiert, wenn in einem Felddurchlauf kein Austausch mehr nötig ist.

Leistungsfähigkeit

Bei diesem Verfahren ist die Laufzeit abhängig von den Eingabedaten.

• Im Bestcase beträgt sie 1, da nur ein Durchlauf benötigt wird um zu erkennen das die Daten bereits sortiert sind.
• Im Worstcase Fall werden \frac{n^2}{2} Vergleiche und ebenso viele Austauschoperationen benötigt.
• Der Average-Case arbeitet nicht wirklich besser als der schlechteste, eine genaue Analyse ist jedoch schwierig.

Shellsort

Shellsort ist eine Art Erweiterung von Insertion Sort, wobei auch der Tausch von weit entfernten Elementen ermöglicht wird. Die Elemente werden so umsortiert, dass wenn man jedes h-te Element entnimmt ein sortiertes Feld vorliegt, man nennt dies h-sortiert. Das so entstandene Feld besteht aus h unabhängig sortierten Teilfeldern, welche sich überlagern. Durch das Sortieren von großen h wird das sortieren für kleine h erleichtert. Diese Prozedur wird mit einer beliebigen Zahlenliste ausgeführt, wobei die Liste mit 1 enden muss.

Ablauf

Leistungsfähigkeit

Suchen

Einführung

Das Suchen nach Daten ist eine der wichtigsten Aufgaben eines Computers, da es weitere grundlegende Operationen wie das Ersetzen, Löschen oder Ändern von Daten erst ermöglicht. Aufgrund dieser hohen Priorität sind Suchverfahren sehr gut hinsichtlich ihres Aufwandes erforscht. Suchen ist dabei das Finden von Mustern oder Objekten mit bestimmten Eigenschaften in einem Suchraum. Beispiele sind Zeichenketten aus einem Text oder Zahlen aus einer Liste von Zahlen. Betrachtet werden auch die Datenstrukturen, auf welche die Verfahren angewendet werden können (elementare oder effizientere, wie Bäume). Außerdem ist zu prüfen, ob eine Vorsortierung des Suchraumes notwendig, effizienzverbessernd oder unnötig ist. In diesem Kapitel werden verschiedene Suchverfahren mit ihren Aufwänden vorgestellt, von einfachen schrittweisen Suchen und deren Verbesserungen hin zu komplexen Suchvorgängen in Bäumen. Es sei hierbei auf das No-free-Lunch-Theoreme verwiesen, welches besagt, dass es kein universelles Optimierungsproblem angewandt auf alle Problemmengen gibt. Für die Suchalgorithmen bedeutet dies, dass die Suchverfahren für den speziellen Anwendungszweck besser sein können als andere, nicht aber für alle Anwendungsbereiche.

Lineare Suche

Die Lineare oder sequentielle Suche ist nur (effizient) anwendbar auf kleine Suchräume und selten stattfindenen Suchoperationen. Dafür ist sie sehr leicht zu implementieren und auf unsortierte Suchräume anwendbar. Nötig ist ein Element e, welches mit dem Suchschlüssel s verknüpft ist. Dieser kann als Attribut des Elements gewertet werden. Es wird immer nach dem Suchschlüssel gesucht! Bei Zahlen wird der Suchschlüssel meist dem Zahlenwert entsprechen, doch kann beispielsweise einem Buchstabe eine Zahl zugeordnet werden und durch Suche nach einer bestimmten Zahl erhält man den Buchstaben. Bei der Linearen Suche wird nun der Suchraum sequentiell, d.h. Element für Element, betrachtet und der Suchschlüssel mit dem Suchschlüssel des zu suchenden Elements verglichen.

Der Bestcase ist offensichtlich: Das erste Element ist das gesuchte, die Laufzeit liegt in \mathcal O(1). Umgekehrt der Worstcase, wobei keins oder das letzte Element den Suchschlüssel besitzen: \mathcal O(n). Der average-Case lässt sich ebenso leicht bestimmen: Sucherfolg bei der halben Feldlänge, also \frac{n}{2} = 0.5\cdot n=\mathcal O(n).

Binäre Suche

Die Binäre Suche stellt eine Erweiterung der Linearen Suche dar. Das Ziel war es, die nötigen Vergleichsschritte zu minimieren. Angewandt wird das Verfahren bei häufigen Suchoperationen mit statischem Suchraum, da für die Binäre Suche eine Vorsortierung notwendig ist. Bei der Binären Suche wird der Suchschlüssel des Elements in der Mitte des Suchraumes zum Vergleich herangezogen. Je nach Ergebnis des Vergleiches wurde entweder das gesuchte Objekt gefunden (Laufzeit \mathcal O(1)) oder es wird mit einem der Teilbereiche weitergearbeitet.

Übung: Wie viele Teilungen müssen durchgeführt werden?
Suchraum = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, Suchschlüssel = 4

Beim Worstcase muss solange geteilt werden, bis nur noch ein Element im Suchraum vorhanden ist.

Fibonacci Suche

Dieses Verfahren stellt eine Variation der Binären Suche da und arbeitet nach einer ähnlichen Vorgehensweise. Da die Laufzeit aber nicht besser ist wird es nur in Grundzügen dargestellt. Der Suchraum wird dabei nicht symetrisch geteilt, sondern asymetrisch. Da die Teilbereiche den Suchraum überdecken müssen, muss zumindest der zweite Teil des Suchbereiches berechnet werden. Dies geschieht durch Subtraktion, es ist keine Division mehr notwendig. Die Bildung der Teilbereiche geschieht dabei ebenso wie bei der Binären Suche solange, bis das Element bei der Teilung gefunden wurde beziehungsweise nur noch ein Element in einem Teilbereich vorhanden ist. Durch die Berechnung der Fibonacci-Zahlen wird der Algorithmus nicht nur komplizierter (Stichwort kognitive Effizienz), sondern die Berechnung fließt auch in die Laufzeit mit ein. Der Bestcase ist wie beim Binären Suchen in \mathcal O(1), der Average-Case ergibt sich aus der Berechnung der Fibonacci-Zahlen \mathcal O(\log_{1.618}(n+1))=O(\log_2 n)

Binäre Suchbäume

Rot-Schwarz-Bäume

Hashing

Extern

Intern

String-Matching

Interpolationssuche

Übungen

Literaturverzeichnis

• Cormen, Thomas; Leiserson, Charles; Rivest, Ronald; Stein, Clifford: Algorithmen, eine Einführung,Oldenbourg Verlag, 2007
• Sedgewick, Robert: Algorithmen, Addison-Wesley, 1992
• Heun, Volker: Grundlegende Algorithmen, Vieweg, 2000
• Mehlhorn, Volker: Datenstrukturen und effiziente Algorithmen Band 1 Sortieren und Suchen, B. G. Teubner Stuttgart, 1988

Kontakt

Sollten während der Nacharbeitung der Vorlesung Fragen auftreten, können diese gern gestellt werden.

Dana Müller

Robert Stricker