Greedy-Algorithmen SS09

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Archivierte Version vom 2009-05-17T17:46:11+00:00. Aktuelle Version

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung
2 Bruchteilrucksack-Problem
3 Aufbau
4 Anwendbarkeit
5 Beispiel (Geldwechsel)
6 Verschiedene Greedy-Algorithmen
- 6.1 Dijkstra
  - 6.1.1 Kürzeste Wege in Graphen
  - 6.1.2 Dijkstras Algorithmus
- 6.2 Kruskal
7 Übung
8 Kommentare

Dev Status

Einführung

Greedy [engl. gefräßig] - eine gefräßige Strategie für Algorithmen. Sie funktioniert nach der Methode:

"Nimm immer den besten Happen, den du kriegen kannst."

Das geschieht durch eine rechnerische Entscheidung. Die Berechnung erfolgt auf der Basis lokaler Information, also ohne Rückgriff auf vorher ermittelte Werte.

Bruchteilrucksack-Problem

Greedy

Aufbau

(define greedy
 (lambda (vorgabewert) ; z.B.: Kapazitaet der Rucksacks
  (let
      ((kandidatenliste '(......))
       (loesung? (lambda (ls) ... ))
       (okay? (lambda (ls) ... ))
       (naechster (lambda (ls) ... ))
       (modify+ (lambda (x ls) ... ))
       (modify- (lambda (x ls) ... ))
       (ziel (lambda (ls) ... ))
   (letrec
        ((helfer
           (lambda (kandidaten resultat)
            (cond
             ((loesung? resultat)(ziel resultat))
             ((and (null? kandidaten)(not (loesung? resultat)))
              (error 'greedy "Es gibt keine Loesung."))
             (else
              (let* ((neuer-kandidat (naechster kandidaten))
                     (neues-resultat (cons neuer-kandidat resultat)))
                 (if (okay? neues-resultat)
                     (helfer (modify+ neuer-kandidat kandidaten) neues-resultat)
                     (helfer (modify- neuer-kandidat kandidaten) resultat))))))))
        (helfer kandidatenliste '())))))

Anwendbarkeit

Greedy

Beispiel (Geldwechsel)

Einem Kunden wird Wechselgeld herausgegeben, wobei möglichst wenige Münzen verwendet werden sollen.

Zur Verfügung haben wir alle Euro-Münzen: 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 (1 Euro), 200 (2 Euro).
Die Münzen werden mit absteigendem Cent-Wert vorsortiert.
Die Prozedur geldwechsel ergibt Resultatliste und Anzahl der Münzen.

(define geldwechsel
 (lambda (restbetrag)
  (let ((kandidatenliste '(200 100 50 20 10 5 2 1))
    (loesung? (lambda (ls)(= restbetrag (apply + ls))))
    (okay? (lambda (ls) (<= (apply + ls) restbetrag)))
    (naechster car)
    (modify+ (lambda (x ls) ls))
    (modify- (lambda (x ls) (delete x ls)))
    (ziel (lambda (ls) (cons (reverse ls) (list (length ls))))))
   (letrec
      ((helfer
       (lambda (kandidaten resultat)
         (cond
          ((loesung? resultat)(ziel resultat))
          ((and (null? kandidaten)(not (loesung? resultat)))
           (error 'greedy "Es gibt keine Loesung"))
          (else
           (let* ((neuer-kandidat (naechster kandidaten))
                  (neues-resultat (cons neuer-kandidat resultat)))
              (if (okay? neues-resultat)
                  (helfer
                   (modify+ neuer-kandidat kandidaten)
                    neues-resultat)
                  (helfer
                   (modify- neuer-kandidat kandidaten)
                    resultat))))))))
          (helfer kandidatenliste '())))))

Die Prozedur wird benutzt um 12,93 Euro (1293 Euro-Cent) herauszugeben. <eval> (geldwechsel 1293) </eval>

Verschiedene Greedy-Algorithmen

Dijkstra

[[Bild:Dijksta_Anim.gif|thumb|284px|Dijkstras Algorithmus
(Quelle: Wikipedia)]]

Edsger W. Dijkstra auf Wikipedia

Kürzeste Wege in Graphen

Die Suche nach der kürzesten Rundreise, die n gegebene Städte genau einmal besucht, gehört zu den schwierigsten Problemen, für die bisher nur Lösungsverfahren mit exponentieller Rechenzeit bekannt sind (siehe: Verzweigen und beschränken: Rundreiseproblem).

Das folgende Problem klingt noch schwieriger. Gesucht ist der kürzeste Weg von Stadt A zu Stadt B, wobei für die n betrachteten Städte eine Entfernungsmatrix gegeben ist. Man muss alle Zwischenstädtefolgen (Wege) betrachten, auch solche, die nicht alle Städte enthalten.

Bewerteter ungerichteter Graph mit 7 Knoten

Dijkstra fand 1959 einen Algorithmus zur Lösung des Kürzeste-Wege-Problems dessen Rechenzeit in \mathcal{O}(n^2) liegt. Ein nach Floyd und Warshall benanntes Verfahren löst eine etwas weiter gehende fragestellung in \mathcal{O}(n^3). Dabei werden die kürzesten Wege für alle Städtpaare bestimmt.

Das Problem ist, mathematisch gesehen, eine Sache der Graphentheorie.

Unter einem endlichen Graph G versteht man ein Paar (V, E), wobei V eine endliche Knotenmenge (Knoten = vertex) und E eine endliche Menge von Kanten (edges) bezeichnet. Eine Kante verbindet genau zwei Knoten. Es ist nicht verlangt, dass alle Knotenpaare durch je eine Kante verbunden sind. Es kann Mehrfachkanten geben.

Zur Speicherung von Graphen verwendet man Matrizen. Eine gängige Form sind sog. Adjazenmatrizen, die für jedes Knotenpaar vermerken, ob die durch die aktuelle Zeile bzw. Spalte bestimmten Knoten durch eine Kante verbunden sind.

Handelt es sich um einen gewichteten Graph, dessen Kanten z.B. mit je einer Zahl für eine bestimmte Länge, Masse oder einen Euro-Betrag markiert sind, werden diese Gewichte in der Adjazenmatrix angegeben. Nicht vorhandene Kanten werden durch einen vereinbarten Wert, meist 0, x oder eine sehr große Zahl, beschrieben.

Wir sprechen von einem gerichteten Graph (engl. directed graph, Digraph), wenn die Kanten einseitig gerichtete Pfeile sind.