Greedy-Algorithmen WS13-14
Einführung
Entgegen anderen Programmiermethoden, wie bspw. dem Dynamischen Programmieren oder dem systematischen Probieren mit Backtracking, arbeiten Greedy-Algorithmen nach dem Motto "Nimm immer den besten Happen, den du kriegen kannst". Hierzu werden immer Entscheidungen auf Basis von lokalen (zu dieser Zeit vorliegenden) Informationen getroffen. Greedy-Algorithmen sind gefräßig und suchen sich immer die besten Stücken aus.
Auf den ersten Blick erscheint das Verfahren gut, denn der Aufwand, den man benötigt, wird wohl nicht exponentiell sein.
Die Basis eines Greedy-Algorithmus ist eine bereits vorsortierte Liste. Wird diese erweitert, werden die entsprechenden Elemente direkt an die richtige Stelle einsortiert.
Bruchteilrucksack
In Erweiterung des 0/1-Rucksackproblem können beim Bruchteilrucksack auch nur Teile eines Gegenstands eingepackt werden. Dabei gehen wir davon aus, dass ein Gegenstand, der zu 70 % eingepackt wurde, auch tatsächlich einen Wert von 70 % seines Gesamtwertes besitzt. Weiterhin legen wir fest, dass das Gewicht des i-ten Gegenstandes mit g_i und dessen Wert mit w_i bezeichnet wird. Damit der Greedy-Algorithmus arbeiten kann, werden die n Gegenstände nach ihrem spezifischen Wert, dem Quotienten aus w_i und g_i, absteigend sortiert.
\frac{w_1}{g_1} \geq \frac{w_2}{g_2} \geq \frac{w_3}{g_3} \geq \dots \geq \frac{w_n}{g_n}Die Kapazität (das Maximalgewicht) des Bruchteilrucksacks sei als K definiert. Es leuchtet ein, dass K immer genau erreicht wird, wenn K die Summe der einzelnen Gewichte g_i ist. Wählt man K kleiner als die Summe der einzelnen g_i, so kommt der Greedy-Algorithmus zum Einsatz:
Es werden die ersten j Gegenstände in den Rucksack gesteckt. Dabei erhält man j, indem j+1 das erste Element ist, das nicht mehr vollständig in den Rucksack passt. Die (eventuell noch) vorhandene Restkapazität kann nun mit einem Teil t (mit 0 \leq t < 1) des Gewichtes des j+1-ten Gegenstands gefüllt werden.
K - \left(g_1 + g_2 + g_3 + \dots + g_j\right) = t \cdot g_{j+1}Der Gesamtwert des auf diese Weise gefüllten Rucksacks beträgt nun:
W = w_1 + w_2 + w_3 + \dots + w_j + t \cdot w_{j+1}Aber kann man sich wirklich sicher sein, dass der Rucksack nun tatsächlich maximal gefüllt ist? Man könnte ja auch auf die Idee kommen, dass man ein Element e (mit 1 \leq e \leq j) auswählt, dass nun (statt komplett) nur zum Teil y (mit 0 < y < 1) eingepackt wird. Zum Auffüllen kommt dann ein weiteres (bisher vernachlässigtes) Element r (mit j < r \leq n) mit einem geringeren spezifischen Wert zum Einsatz, das nun zu einem Teil z (0 < z \leq 1) eingepackt wird. Dies ergibt dann den folgenden Gesamtwert
W' = w_1 + w_2 + \dots + w_e + \dots + w_j + t \cdot w_{j+1} - \left( 1 - y\right) \cdot w_e + z \cdot w_rDas Gewicht des z-ten Teil des r-ten Elements stimmt mit dem Restgewicht \left( 1 - y\right) \cdot g_e des e-ten Elements überein.
z \cdot g_r = \left( 1 - y\right) \cdot g_e z = \frac{\left( 1 - y\right) \cdot g_e}{g_r}Setzt man nun dieses z in die Gleichung für den Gesamtwert W' ein, erhält man:
W' = w_1 + w_2 + \dots + w_e + \dots + w_j + t \cdot w_{j+1} - \left( 1 - y\right) \cdot w_e + \frac{\left( 1 - y\right) \cdot g_e \cdot w_r}{g_r}Umformung
Wie oben festgelegt wurde, gilt \left( 1 - y\right) \cdot g_e > 0 und damit ergibt sich:
W' = W + \underbrace{\left( 1 - y\right) \cdot g_e}_{> 0} \cdot \underbrace{\left( \frac{w_r}{g_r} - \frac{w_e}{g_e}\right)}_{< 0}Hier wird deutlich, dass kein Wertzuwachs erfolgt, sondern stattdessen sogar W' < W gilt. Dies zeigt als, dass der Greedy-Algorithmus das Bruchteilrucksack-Problem effizient löst.