thema2

Aufgabe 1

Kommentieren Sie. Nennen Sie Beispiele.

1. . Unzugängliches (wenigstens) für Computer
2. . Praktisch Unmöglich

zu 1:

• benötigte Beschreibungssprachen fehlen, dadurch nicht maschinell verarbeitbar bzw. formalisierbar
• es sind umfassende Probleme, mit vielen abhängigen Parametern vorhanden
• durch den Einsatz von künstlicher Intelligenz, Data Mining und Computersimulation wird die Klasse der unzugänglichen Probleme immer mehr verkleinert
• Beispiel: Wird alles gut werden? , Gefällen ihr die Schuhe oder nicht?

zu 2:

• vorhandene Probleme können maschinell beschrieben werden, aber nicht effizient gelöst werden
• Beispiel: Travelling Salesman Problem, Job Shop Scheduling Problem

Aufgabe 2

1. Wiederholen Sie die Definition von abzählbar unendlichen Mengen
2. Cantorisches Diagonalisierungsverfahren 1.Art: Idee und am Beispiel der Wortmenge A*
3. Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen abzählbar unendliche Mengen sind \mathbb{Z \quad Q \quad}, die Menge der Primzahlen und die geraden Zahlen.
4. Beweisen Sie den folgenden Satz: Wenn M_1,M_2,M_3,.... abzählbare Mengen sind, dann ist auch die Menge \bigcup_{n=1}^\infty M_n abzählbar.

zu 1:

abzählbar unendliche Mengen

Eine Menge ist abzählbar unendlich, wenn es möglich ist eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der \mathbb{N \quad} und der Menge X zu finden ist.

überabzählbar unendliche Mengen

Wird eine solche Funktion nicht gefunden, ist die zu untersuchenden Menge überabzählbar unendlich.

zu 2:

Motivation dieses Verfahrens ist es, eine sichere Aussage über die Überabzählbarkeit von Mengen zu treffen.

Cantorsches Diagonalisierungsverfahren 1. Art

Diese Art ist konstruktiver Natur und läuft auf das abzählen der Elemente hinaus. Hierbei versucht man die Mengen nach einem bestimmten Prinzip zu ordnen und bildet sie anschließend auf die Menge der \mathbb{N \quad} ab.

Beispiel: Wortmenge A*

• Alphabet: A={a,b,c} \rightarrow die Wortmenge wird längen-lexikografisch (nach Länge und Alphabet) geordnet
• Wortmenge: A* = {\epsilon, a,b,c, aa, ab, ac, ba, bc, ca, cb, abc, .....} \rightarrow durch die Verkettung entstehen neue Wörter
• außerdem lassen sich die einzelnen Wörter in Bereiche unterteilen \rightarrow die Länge der einzelnen Bereich entspricht einer Kardinalität von |A|^{Ordnungsrelation_des _Bereiches}
  • 1.Bereich: \epsilon
  • 2.Bereich: a,b,c
  • usw.